Grenzwerte berechnen

Um einen Grenzwert zu berechnen, muss man sich überlegen was mit der Funktion passiert, wenn man Werte einsetzt, die immer näher dem untersuchten Wert sind, also dem Wert gegen das das x läuft. Dazu könnt ihr euch paar Werte ausrechnen, die immer näher dem gesuchten Wert kommen.

 

Tipps für Grenzwerte gegen Unendlich:

  1. Schaut euch an wo das x steht, z.B. im Exponenten, Nenner, Basis.... und guckt was passiert, wenn x immer größer/kleiner wird.
  2. Sind mehrere x da, schaut euch das an, welches am stärksten wächst, also jenes, welches den meisten Einfluss hat auf den Grenzwert. z.B. hat das x mit einem höheren Exponenten (höherem Grad des Polynoms) mehr Einfluss, als das mit einem kleineren, aber noch mehr Einfluss hat das x, das selbst im Exponenten steht.
  3. Guckt was mit diesem x passiert, wenn es sich dem Grenzwert annähert. Dies ist dann meist der Grenzwert.
  4. Klammert einfach mal die höchste Potenz aus, denn überall, wo die größte Potenz dann im Nenner steht wird es 0 und so seht ihr dann schnell, was raus kommt ;)

 

Tipps für Grenzwerte gegen 0:

  1. Setzt für jedes x=0 ein und schaut, was rauskommt, dies ist meist bereits der Grenzwert.
  2. habt ihr aber eine 0 im Nenner (was man ja nicht darf) geht es gegen Unendlich, da der Nenner ja immer kleiner wird. Habt ihr aber eine 0 im Zähler, wenn ihr für x=0 einsetzt und im Nenner ebenfalls, kommt es darauf an ob der Zähler- oder Nennergrad größer ist, bzw. wo das x mit dem größeren Einfluss ist (also jenes welches am schnellsten fällt), dieser "gewinnt" dann, also wenn Zählergrad größer ist, geht es gegen 0 und wenn Nennergrad größer ist, gegen unendlich.
  3. Danach müsst ihr nur noch gucken, falls nicht 0 raus kommt, ob es einen Unterschied im Vorzeichen gibt, wenn der Grenzwert vom negativen oder positiven kommt.

Hier das Vorgehen bei bestimmten Funktionsarten:

Grenzwerte für bestimmte Funktionen:

Potenzfunktionen

Der Grenzwert einer Potenzfunktion ist gegeben durch:

  • +∞  für n>0
  • 1      für n=0
  • 0      für n<0
  • +∞  für gerade n>0
  • -∞   für ungerade n>0
  • 1     für n=0
  • 0     für n<0

Exponentialfunktionen

Der Grenzwert der Exponentialfunktionen ist gegeben durch:

  • +∞ für a>1
  • 0     für a zwischen 0 und 1
  • --    für a kleiner 0 gibt es keinen
  • 0     für a>1
  • +∞ für a zwischen 0 und 1
  • --    für a < 0 gibt es keinen

Gebrochenrationale Funktionen

Tipp: für die Berechnung von Grenzwerten von gebrochenrationalen Funktionen schaut euch erstmal nur die höchste Potenz an und den Faktor (also die Zahl) der direkt davor steht, mehr braucht euch nicht zu kümmern. "Die höchste Potenz gewinnt" ist hierbei die Faustregel, denn die wächst schneller und dann wisst ihr, gegen was die Funktion geht, ist die höchste Potenz im Zähler geht es gegen unendlich und ist sie im Nenner gegen 0. Dann müsst ihr euch nur noch angucken, welches Vorzeichen rauskommt und ihr seid fertig ;). Und sind die Potenzen im Nenner und Zähler gleich, teilt ihr die Zahl vor der höchsten Potenz im Zähler durch die Zahl vor der größten Potenz im Nenner, das ist dann der Grenzwert.

Für Folgendes gilt:

  • n ist der höchste Exponent im Zähler
  • m ist der höchste Exponent im Nenner
  • 0              für n<m
  • an÷bm   für n=m

  • +∞          für n>m und an÷bm >0

  • -∞           für n>m und an÷bm <0

  • 0              für n<m
  • an÷bm   für n=m
  • wenn an und bm gerade oder beide ungerade sind:
    • +∞          für n>m und an÷bm >0
    • -∞           für n>m und an÷bm <0
  • wenn von an und bm eines gerade und das andere ungerade ist:
    • -∞           für n>m und an÷bm >0
    • +∞          für n>m und an÷bm <0

Grenzwert Rechenregeln

Faktorregel

Summenregel

Differenzenregel

Produktregel

Quotientenregel

Grenzwertrechner

Für Unendlich müsst ihr infinite eingeben!

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