Direkte und indirekte Proportionalität

Die Proportionalität beschreibt das Verhältnis von zwei veränderlichen Größen zueinander, insofern dass wenn eine sich verändert, sich die andere ebenfalls um einen bestimmten Faktor verändert. Es gibt zwei verschiedene Arten von Proportionalität.

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  1. direkte Proportionalität
  2. indirekte Proportionalität

Direkte Proportionalität

Eine direkte Proportionalität hat folgende Eigenschaften:

  • Wenn die eine Größe um einen bestimmten Faktor steigt, steigt die andere Größe um denselben Faktor.
    • Beispiel: Ihr kauft 1 Schokoriegel für 1€. Dann kosten 5 Riegel 5€. Das ist eine direkte Proportionalität, denn der Betrag, den ihr bezahlen müsst, steigt genauso, wie die Anzahl eurer Riegel.
  • Die Größen sind quotientengleich, das bedeutet, dass wenn man den einen Wert durch den dazugehörigen anderen Wert teilt, kommt immer dasselbe raus.
    • Beispiel: beim selben Beispiel wie oben bedeutet es, dass wenn ihr die Anzahl an Riegeln durch die Kosten teilt, immer dasselbe rauskommt. Also 1:1€ = 5:5€.
  • Verdoppelt, halbiert, verdreifacht man den einen Wert, verdoppelt, halbiert, verdreifacht sich auch der andere Wert.
  • Es gilt der Grundsatz: "je mehr, desto mehr" und "je weniger, desto weniger".
  • Die direkte Proportionalität ergibt gezeichnet eine steigende Ursprungsgerade
  • Aufgaben der direkten Proportionalität lassen sich meist leicht durch den Dreisatz lösen:

Proportionalitätsfaktor

Der Proportionalitätsfaktor beschreibt das Verhältnis beider Werte genauer, also wie beide Werte im Verhältnis stehen. Berechnen tut man diesen, für die direkte Proportionalität, so:

  • k ist der Proportionalitätsfaktor
  • y der erste Wert (z.B. was man Zahlen muss, für Wassermelonen)
  • x der zweite Wert, welcher zum ersten Wert gehört (z.B. Anzahl der Wassermelonen)

Dabei ist k für eine Proportionalität immer konstant, das bedeutet, ihr könnt immer irgendwelche zusammengehörige Werte nehmen und es kommt für k immer dasselbe raus. Die Einheit des Proportionalitätsfaktors ist die, welche rauskommt, wenn man die Einheiten beider Werte teilt. Mit dem Proportionalitätsfaktor könnt ihr dann die Gleichung für diese Proportionalität angeben, sie lautet dann:

y=k·x

Beispiel

Ihr geht in einen Laden und wollt, wie typischerweise immer in Matheaufgaben, Wassermelonen kaufen ;). 1kg Wassermelonen kosten dabei 2,50€.

  1. Wie viel kosten dann 4kg Wassermelonen?
  2. Wenn man 7,50€ zahlt, wie viel Wassermelonen hat man dann gekauft?
  3. Was ist der Proportionalitätsfaktor?

Hierfür könnt ihr euch erst mal eine Tabelle erstellen, die dann in etwa so aussieht:

Nun müsst ihr die restlichen Werte bestimmten. Ihr wisst ja, dass direkte Proportionalität so funktioniert, dass wenn man das eine verdoppelt, sich auch das andere verdoppelt, das könnt ihr jetzt anwenden.

 

 

Bei 1.

wird ja gefragt, wie viel 4kg Wassermelonen kosten, im Vergleich zu 1kg, wo ihr den Preis wisst, hat sich der Wert ja vervierfacht. Also muss sich auch der Preis vervierfachen, also 2,5€·4=10€. Das bedeutet, dass 4kg 10€ kosten. (Mit dem Dreisatz einfach Lösen, HIER mehr dazu)

 

Bei 2.

wird gefragt, wie viel Wassermelonen man für 7,50€ bekommt. Teilt den Preis, den ihr wissen möchtet, durch den Preis für eine Wassermelone, so wisst ihr, um welchen Faktor sich der Preis geändert hat (die Anzahl ändert sich dann ja in der direkten Proportionalität um denselben Faktor) 7,5:2,5=3, also hat sich der Wert im Vergleich zu einer Wassermelone verdreifacht. Also nehmt ihr die Anzahl an Wassermelonen mal 3, 1·3=3, also bekommt ihr 3 Wassermelonen für 7,50€. (Mit dem Dreisatz einfach Lösen, HIER mehr dazu)

 

Bei 3.:

Den Proportionalitätsfaktor berechnet man, indem man eine Größe durch die Andere teilt, also 1€:2,5kg=0,4€/kg. Daher ist der Proportionalitätsfaktor 0,4€/kg. Die Gleichung für diese Proportionalität ist dann:

y = 0,4€/kg · x, wobei das y die Kosten sind und das x die Anzahl an Wassermelonen. Mit dieser Gleichung könnt ihr auch die Aufgaben 1 und 2 berechnen. (Mit dem Dreisatz einfach Lösen, HIER mehr dazu)

 

Nochmal zur Verdeutlichung:

 

Hier ist eine Übersicht, wie man was berechnet, dabei ist rot das was man miteinander verrechnet und grün das, was rauskommt:

Übungsaufgaben / Beispiele

Hier sind zwei Aufgaben, die ihr selbst als Übung rechnen oder einfach angucken könnt. Klickt auf "Einblenden", um die Lösung zu sehen.

5 Tickets für das Spiel vom HSV gegen die Bayern kosten 125€. Wie viel kostet 1 Ticket? Einblenden
7 Stifte kosten 3,50€. Wie viel kosten dann 10 Stifte? Einblenden


Indirekte Proportionalität

 Eine indirekte Proportionalität hat folgende Eigenschaften:

 

  • Wenn die eine Größe um einen bestimmten Faktor steigt, sinkt die andere Größe um denselben Faktor.

    • Beispiel: 4 Arbeiter brauchen 6 Stunden zum Bemalen einer Wand, dann brauchen 8 Arbeiter nur 3 Stunden. Wie ihr seht, wurde die Anzahl an Arbeitern mal 2 genommen und die Anzahl an Stunden geteilt durch 2. Denn je mehr Arbeiter daran arbeiten, umso schneller ist die Wand fertig.
  • Die Größen sind produktgleich, das bedeutet, dass wenn man den einen Wert mal den dazugehörigen anderen Wert nimmt, kommt immer dasselbe raus.

    • Beispiel: Anhand des Beispiels von oben seht ihr dies, denn 4·6=8·3=24
  • Verdoppelt man einen Wert, so halbiert sich der andere
    • Verdreifacht man einen Wert, so drittelt sich der Andere
    • Vervierfacht man einen Wert, so viertelt sich der Andere
  • Es gilt der Grundsatz: "je mehr, desto weniger" und "je weniger, desto mehr".

  • Die indirekte Proportionalität ergibt gezeichnet eine fallende Hyperbel

Proportionalitätsfaktor

Der Proportionalitätsfaktor beschreibt das Verhältnis beider Werte genauer, also wie beide Werte im Verhältnis stehen. Berechnen tut man diesen für die indirekte Proportionalität, so:

k=y·x

  • k ist der Proportionalitätsfaktor
  • y der erste Wert (z.B. Anzahl der Stunden zum bemalen einer Wand)
  • x der zweite Wert, welcher zum ersten Wert gehört (z.B. Anzahl der Maler)

Dabei ist k für eine Proportionalität immer konstant, das bedeutet, ihr könnt immer irgendwelche zusammengehörige Werte nehmen und es kommt für k immer dasselbe raus. Die Einheit des Proportionalitätsfaktors ist die, welche rauskommt, wenn man die Einheiten beider Werte multipliziert. Mit dem Proportionalitätsfaktor könnt ihr dann die Gleichung für diese Proportionalität angeben, sie lautet dann:

Beispiel

Der Bau des Berliner Flughafens braucht mit 1000 Arbeitern 100 Jahre.

  1. Wie lange würde es mit 2000 Arbeitern dauern?
  2. Wenn der Bau 80 Jahre dauert, wie viele Arbeiter haben dann daran gearbeitet?
  3. Wie lange würde es mit einem Arbeiter dauern?

Um diese Aufgabe zu lösen, könnt ihr euch erstmal eine Tabelle anfertigen, in der ihr alles einträgt, was ihr wisst und was ihr wissen wollt:

k berechnet ihr, wie oben Beschreiben, also den einen Wert mal den Andern.

 

Zu 1.:

Da sich die Anzahl der Arbeiter verdoppelt, wisst ihr, dass sich nach der Definition der indirekten Proportionalität, die Zeit des Baus halbieren muss, also ist der Bau mit 2000 Bauarbeitern nach 50 Jahren fertig. Alternativ könnt ihr erst berechnen, wie lange 1 Arbeiter braucht und das dann durch die Anzahl an Arbeitern teilen:

 

1000 · 100=100.000 -> so lange braucht ein Arbeiter

-> x = 100.000 : 2000 = 50

 

Jetzt wisst ihr also, dass 2000 arbeiter 50 Jahre brauchen.

 

 

Zu 2.:

Das berechnet ihr am besten, wenn ihr alles, was ihr wisst, in die Gleichung der indirekten Proportionalität einsetzt. Das bedeutet also:

 

y = 100.000 · 1/80= 1250

 

Das bedeutet man benötigt 1250 Bauarbeiter, damit der Flughafen nach 80 Jahren fertig ist.

 

 

Zu 3.:

Die Anzahl der Arbeiter ist hier mit 1 das 1000fache weniger, daher muss die Zeit auch 1000-mal länger sein, also 100.000 Jahre, das heißt mit einem Arbeiter würde es 100.000 Jahre dauern, bis der Flughafen fertig ist.

 

Zur Veranschaulichung:

Übungsaufgabe / Beispiel

Hier eine Aufgabe, die ihr selbst als Übung rechnen oder einfach angucken könnt. Klickt auf "Einblenden", um die Lösung zu sehen.

2 Postboten brauchen 10 Stunden, um die Briefe zu verteilen. Wie viel Stunden brauchen 4 Postboten? Einblenden

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Tipps gegen Prüfungsangst

Viele kennen das, vor einer Prüfung geht die Angst rum, man wird unruhig und es geht einem nicht gut. Die Prüfungsangst schlägt zu. Wir möchten euch paar Tipps geben diese Angst etwas zu verringern und bessere Ergebnisse zu erzielen. 

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