Asymtpoten

Funktionen können verschiedene Arten von Asymptoten haben. Hier werden alle erklärt:

Art der Asymptote Wann sie vorkommt
Senkrechte Asymptote Eine senkrechte Asymptote liegt an der Stelle vor, an der der Nenner null ist.
Schiefe Asymptote Wenn Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad.
Waagerechte Asymptote Wenn der Zählergrad gleich oder kleiner ist als der Nennergrad.
Asymptotische Kurve Wenn der Zählergrad um mehr als 1 größer ist als der Nennergrad (also wenn Zählergrad>Nennergrad+1)

Senkrechte Asymptote

Eine senkrechte Asymptote (also eine Asymptote parallel zur y-Achse) liegt an der Stelle vor, an der der Nenner null ist.

 

Daher ist die Berechnung leicht, einfach die Nullstelle(n) des Nenners berechnen, an der Stelle ist die senkrechte Asymptote. 

Beispiel

Es soll die senkrechte Asymptote dieser Funktion bestimmt werden:

Beispielaufgabe für eine senkrechte Asymptote

Die senkrechte Asymptote ist bei der Nullstelle des Nenners, also:

Lösung für die Aufgabe einer senkrechten Asymptote

Also ist die senkrechte Asymptote bei x=2.

 

 

Hier seht ihr die senkrechte Asymptote (rot) und die Funktion (blau):

Beispiel einer senkrechten Asymptote anhand einer Funktion.

Arbeitsblätter zum üben

Unter folgendem Button findet ihr kostenlose Arbeitsblätter zum üben und vertiefen:

Schiefe Asymptote

Diese gibt es, wenn der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad. Um die Asymptote zu berechnen, geht ihr so vor:

  1. Teilt den Zähler durch den Nenner und rechnet dies mithilfe der Polynomdivision aus. 
  2. Lasst dann den Restterm weg, das Ergebnis dann ist die schiefe Asymptote.

Beispiel

Berechnen der schiefen Asymptote dieser Funktion:

Beispielaufgabe für eine schiefe Asymptote.

Führt die Polynomdivision durch, wobei ihr den Zähler durch den Nenner teilt:

Rechenweg zur Berechnung einer schiefen Asymptote.

Das blau umkreiste ist dann eure schiefe Asymptote und das Orangenfarbende ist der Restterm, den ihr dann weglassen könnt (immer das, wo das x im Nenner steht). Also sieht die Gleichung der schiefen Asymptote dann so aus:

Lösung der Beispielaufgabe für die schiefe Asymptote.

Gezeichnet sieht dann die Funktion und die schiefe Asymptote so aus:

Beispiel der schiefen Asymptote anhand einer Funktion im Koordinatensystem.

Waagerechte Asymptote

Eine waagerechte Asymptote liegt in zwei Fällen vor:

  1. Wenn der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad. In diesem Fall ist die x-Achse die waagerechte Asymptote
  2. Wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist. Dann lässt sich die waagerechte Asymptote berechnen, indem man die Faktoren vor der höchsten Potenz im Zähler durch den Faktor der höchsten Potenz im Nenner teilt.

Beispiel

Die waagerechte Asymptote dieser Funktion ist gesucht. (Zählergrad=Nennergrad)

Beispielfunktion mit einer waagerechten Asymptote.

Die Asymptote ist dann an dem y-Wert, welcher sich ergibt, wenn man die Faktoren vor der gemeinsamen höchsten Potenz dividiert.

Beispiel, wie man eine waagerechte Asymptote bestimmt.

Diese Funktion und Asymptote sehen dann so aus:

Grafik einer waagerechten Asymptote einer gebrochenrationalen Funktion.

Asymptotische Kurve

Diese existiert, wenn der Zählergrad um mehr als 1 größer ist als der Nennergrad (also, wenn Zählergrad>Nennergrad+1). Eine asymptotische Kurve ist eine Asymptote, die keine Gerade, sondern eine Kurve ist, z.B. eine Parabel, die sich der Graph immer weiter annähert.

 

Um die Asymptote zu berechnen, geht ihr genauso vor wie bei der schiefen Asymptote:

  1. Teilt den Zähler durch den Nenner und rechnet dies mithilfe der Polynomdivision aus. 
  2. Lasst dann den Restterm weg (also das, wo Rest durch Nenner steht), das Ergebnis dann ist die schiefe Asymptote.

Beispiel

Es wird die asymptotische Kurve für folgende Funktion gesucht (Nennergrad um 2 kleiner als der Zählergrad, also gibt es eine asymptotische Kurve):

Beispiel einer Funktion mit einer asymptotischen Kurve.

Führt die Polynomdivision durch:

Beispiel der Berechnung einer asymptotischen Kurve bei einer gebrochenartionalen Funktion.

Das Rote ist dann die Gleichung der Asymptote, den Teil, mit dem x im Nenner könnt ihr weglassen, das ist der sogenannte Restterm. Also ist die Gleichung der Asymptote:

Lösung und Gleichung der asymptotischen Kurve.

Diese Funktion und Asymptote sieht so aus:

Eine asymptotische Kurve beispielhaft gezeichnet.

Asymptotenrechner

Hier könnt ihr euch Asymptoten berechnen und zeichnen lassen, vom Asymptotenrechner (falls nicht angezeigt, liegt es an AdBlock):

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