Abstand Gerade und Gerade

Der Abstand zweier Geraden ist der, an dem die Geraden sich am nächsten kommen. Wenn ihr diesen bestimmen wollt, kommt es drauf an, ob die Geraden parallel oder windschief sind:

Parallele Geraden

Bei zwei parallelen Geraden geht ihr so vor:

  • Da der Abstand überall gleich ist, sucht ihr euch einfach irgendeinen Punkt auf einer der beiden Geraden aus und berechnet den Abstand dieses Punktes zu der anderen Geraden. Wie dies geht findet, ihr HIER.

Windschiefe Geraden

Bei windschiefen Geraden geht ihr so vor:

  1. Ebenengleichung in Normalenform bestimmen, indem ihr das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren als Normalenvektor einsetzt und den Aufpunkt der ersten Gerade als Aufpunkt in der Ebenengleichung verwendet.
  2. Wandelt die Normalenform der Ebene in die Koordinatenform um (HIER mehr Infos wie das geht)
  3. Bestimmt den Betrag des Normalenvektors und teilt die ganze Koordinatenform durch diesen, bzw. nimmt diese mit dem Kehrwert des Betrags des Normalenvektors mal. (also einfach 1 durch den Betrag des Normalenvektors), dies wird auch hessesche Normalenform genannt.
  4. Setzt den Aufpunkt der zweiten Gerade in die Gleichung ein, die ihr so davor bestimmt habt (also in die hessesche Normalenform). Rechnet das dann aus und ihr erhaltet den Abstand.

 

Beispiel

Seien diese zwei Geraden gegeben:

  • Um den Abstand zu berechnen, müsst ihr zunächst eine Hilfsebene bestimmen, dies macht so:
    • ihr berechnet den Normalenvektor, indem ihr das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bestimmt
    • und dann den Aufpunkt der ersten Gerade als Aufpunkt der Ebenengleichung nehmt
    • und beides in die Normalenform einsetzt:
  • Danach formt ihr die Ebenengleichung in die Koordinatenform um. Wenn ihr noch mal nachschauen wollt, wie das geht, ihr findet es HIER.
  • Nun müsst ihr noch die Koordinatenform durch den Betrag des Normalenvektors teilen, (bzw. ihr nehmt diese mal den Kehrbruch des Betrags des Normalenvektors) dies nennt man dann hessesche Normalenform:
  • Zu guter Letzt setzt ihr den Aufpunkt der zweiten Gerade in diese hessesche Normalenform ein und berechnet das Ergebnis. Sollte dies negativ sein, nehmt den Betrag davon und ihr habt euren Abstand! :D

Hier seht ihr das Beispiel in 3D, der Abstand wurde in rot eingetragen:

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