Lineare Abbildungen und Matrizen

Übersicht:

1. Grundlegendes (hier weiter unten)
2. Kern und Bild einer Linearen Abbildung
3. Dimensionsformel
4. Matrizen
5. Matrizen Rechenregeln
6. Matrizenmultiplikation
7. Matrix Transponieren
8. Einfache Determinante
9. Inverse Matrix bestimmen
10. Einheitsmatrix
11. Rang einer Matrix

Definition einer Linearen Abbildung:

Eine lineare Abbildung (genauer: eine K-lineare Abbildung) von V nach W ist eine Abbildung f : V → W, die verträglich ist mit den Additionen und den skalaren Multiplikationen auf V und W. Das bedeutet, dass für alle v,w∈V und λ∈ K gilt: f(v + w) = f(v) + f(w), f(λv) = λf(v). Die Menge aller linearen Abbildungen von V nachW bezeichnen man mit Hom_K(V,W). Dies ist eine Teilmenge von Abb(V,W).

Begriffserklärung:

• Eine lineare Abbildung nennt man auch Homomorphismus. (oft geschrieben als Hom_K)

• Eine bijektive lineare Abbildung heißt Isomorphismus von Vektorräumen.

• Zwei Vektorräume V und W heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus f : V →W gibt

Eigenschaften:

1.  Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Dann gilt f(0_V) = 0_W und f(−v) = −f(v) für alle v∈V.
2.  Sei f : V → W ein Isomorphismus. Dann ist auch f⁻¹: W → V ein Isomorphismus.
3.  Sind f : U →V und g: V →W Homomorphismen von Vektorräumen, so ist auch g◦ f : U→W ein Homomorphismus von Vektorräumen
4. Sei f : V →W ein Homomorphismus.
   •  f ist genau dann injektiv, wenn für jede linear unabhängige Teilmenge L von V die Teilmenge f(L) von W linear unabhängig ist. So zu beweisen:

     λ_nb_n mit paarweise verschiedenen linear unabhängigen b_i. Dann ist:

     0 = f(v) = f(λ₁b₁ +···+ λ_nb_n)

     = λ₁f(b₁) +···+ λ_nf(b_n).

   •  f ist genau dann surjektiv, wenn für jedes Erzeugendensystem E von V die Teilmenge f(E) von W ein Erzeugendensystem ist. So zu beweisen: Sei also w ∈ W. Dann gibt es f(b₁),..., f(b_n)∈ f(B) und λ₁,...,λ_n ∈ K mit

     w = λ₁f(b₁) +···+ λ_nf(b_n)

     = f(λ₁b₁ +···+ λ_nb_n),

5. Sei n ∈ ℕ. Ein Vektorraum V ist genau dann isomorph zu Kⁿ, wenn V die Dimension n hat.
6.  Sei f : V → W. Aus Punkt 4 folgt auch,
   1. dass wenn f injektiv ist gilt:

      Dim_kV ≤ Dim_kW

   2. dass wenn f surjektiv ist gilt:

      Dim_kV ≥ Dim_kW

Sei V ein Vektorraum und B eine Basis von V. Dann können wir jede lineare Abbildung f : V →W von V in einen weiteren Vektorraum W einschränken zu einer Abbildung f|B: B → W. Dies ist nun eine Abbildung der Menge B in die Menge W. Auf diese Weise liefert die Einschränkung also eine Abbildung von der Menge HomK(V,W) in die Menge Abb(B,W).

Die Einschränkungsabbildung HomK(V,W) → Abb(B,W) ist eine Bijektion.

Beweis:

Zunächst zeigen wir, dass die Abbildung injektiv ist. Seien dazu f und g in HomK(V,W) gegeben mit f|_B= g|_B. Wir wollen f = g zeigen. Sei v∈V. Dann kann man v schreiben als Linearkombination von Elementenaus B: v = λ₁b₁ +···+λ_nb_n. Dann ist

f(v) = f(λ₁b₁ +···+ λ_nb_n)

           = λ₁f(b₁) +···+ λ_nf(b_n)

             = λ₁g(b₁) +···+ λ_ng(b_n)

        = g(λ₁b₁ +···+ λ_nb_n)

= g(v).

Also ist f = g. Nun zeigen wir die Surjektivität. Sei h: B→W eine beliebige Abbildung. Dann definieren wir f : V → W folgendermaßen. Sei v ∈ V. Dann gibt es genau eine Linearkombination v = λ₁b₁ +···+ λ_nb_n von paarweise verschiedenen Elementen aus B. Wir definieren dann

f(v) := λ₁h(b₁) +···+ λ_nh(b_n)

.

Wegen der Eindeutigkeit der Linearkombination ist dies eine wohldefinierte, sogar lineare Abbildung von V nach W und nach Konstruktion gilt f|_B = h.