Lineare Abbildungen und Matrizen

Grundlegendes

Definition einer Linearen Abbildung:

Eine lineare Abbildung (genauer: eine K-lineare Abbildung) von V nach W ist eine Abbildung f : V → W, die verträglich ist mit den Additionen und den skalaren Multiplikationen auf V und W. Das bedeutet, dass für alle v,w∈V und λ∈ K gilt: f(v + w) = f(v) + f(w), f(λv) = λf(v). Die Menge aller linearen Abbildungen von V nachW bezeichnen man mit HomK(V,W). Dies ist eine Teilmenge von Abb(V,W).

 

Begriffserklärung:

  • Eine lineare Abbildung nennt man auch Homomorphismus. (oft geschrieben als HomK)
  • Eine bijektive lineare Abbildung heißt Isomorphismus von Vektorräumen.
  • Zwei Vektorräume V und W heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus f : V →W gibt

 

Eigenschaften:

  1.  Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Dann gilt f(0V) = 0W und f(−v) = −f(v) für alle v∈V.
  2.  Sei f : V → W ein Isomorphismus. Dann ist auch f−1: W → V ein Isomorphismus.
  3.  Sind f : U →V und g: V →W Homomorphismen von Vektorräumen, so ist auch g◦ f : U→W ein Homomorphismus von Vektorräumen
  4. Sei f : V →W ein Homomorphismus.
    •  f ist genau dann injektiv, wenn für jede linear unabhängige Teilmenge L von V die Teilmenge f(L) von W linear unabhängig ist. So zu beweisen:

      λnbn mit paarweise verschiedenen linear unabhängigen bi. Dann ist:

      0 = f(v) = f(λ1b1 +···+ λnbn)

      = λ1f(b1) +···+ λnf(bn).

    •  f ist genau dann surjektiv, wenn für jedes Erzeugendensystem E von V die Teilmenge f(E) von W ein Erzeugendensystem ist. So zu beweisen: Sei also w ∈ W. Dann gibt es f(b1),..., f(bn)∈ f(B) und λ1,...,λn ∈ K mit

      w = λ1f(b1) +···+ λnf(bn)

      = f(λ1b1 +···+ λnbn),

  5. Sei n ∈ ℕ. Ein Vektorraum V ist genau dann isomorph zu Kn, wenn V die Dimension n hat.
  6.  Sei f : V → W. Aus Punkt 4 folgt auch,
    1. dass wenn f injektiv ist gilt:

      DimkV ≤ DimkW

    2. dass wenn f surjektiv ist gilt:

      DimkV ≥ DimkW

Lineare Abbildungen und Basen

Sei V ein Vektorraum und B eine Basis von V. Dann können wir jede lineare Abbildung f : V →W von V in einen weiteren Vektorraum W einschränken zu einer Abbildung f|B: B → W. Dies ist nun eine Abbildung der Menge B in die Menge W. Auf diese Weise liefert die Einschränkung also eine Abbildung von der Menge HomK(V,W) in die Menge Abb(B,W).

Die Einschränkungsabbildung HomK(V,W) → Abb(B,W) ist eine Bijektion.


Beweis:

Zunächst zeigen wir, dass die Abbildung injektiv ist. Seien dazu f und g in HomK(V,W) gegeben mit f|B= g|B. Wir wollen f = g zeigen. Sei v∈V. Dann kann man v schreiben als Linearkombination von Elementenaus B: v = λ1b1 +···+λnbn. Dann ist

 

 

f(v) = f(λ1b1 +···+ λnbn)

 

           = λ1f(b1) +···+ λnf(bn)

 

             = λ1g(b1) +···+ λng(bn)

 

        = g(λ1b1 +···+ λnbn)

 

= g(v).

 

 

Also ist f = g. Nun zeigen wir die Surjektivität. Sei h: B→W eine beliebige Abbildung. Dann definieren wir f : V → W folgendermaßen. Sei v ∈ V. Dann gibt es genau eine Linearkombination v = λ1b1 +···+ λnbn von paarweise verschiedenen Elementen aus B. Wir definieren dann

 

f(v) := λ1h(b1) +···+ λnh(bn)

 

.

Wegen der Eindeutigkeit der Linearkombination ist dies eine wohldefinierte, sogar lineare Abbildung von V nach W und nach Konstruktion gilt f|B = h.

Blog


Aktien für Anfänger: Wie Studenten an der Börse starten können

Studenten und Aktien – passt nicht zusammen. Eine verbreitete Sichtweise, die sich unter anderem aus der Tatsache speist, dass angehende Akademiker selten mit Geld um sich schmeißen können. Aber: Für Studenten werden die Börsen zunehmend interessanter. Der Trend, dass wieder mehr Aktien gezeichnet werden – über den Beispielsweise auch das Handelsblatt berichtet – geht nicht an Studenten vorbei.

 

Damit diese Anlegergruppe von den Renditen an den Börsen profitiert, braucht es allerdings ein paar Voraussetzungen. Hierzu gehört einerseits das Wertpapierdepot. Letzteres ist unverzichtbar, um Aktien und andere Wertpapiere zu handeln. Gleichzeitig braucht es auch das nötige Know-how. Ohne Börsenwissen werden beim Trading Fehler gemacht, die teuer werden.

Abbildung 1: Wenn Studenten in Aktien investieren möchten, sollten sie vorher einiges bedenken. Mit der richtigen Strategie und dem passenden Aktiendepot lassen sich hier jedoch durchaus Erfolge feiern.
Abbildung 1: Wenn Studenten in Aktien investieren möchten, sollten sie vorher einiges bedenken. Mit der richtigen Strategie und dem passenden Aktiendepot lassen sich hier jedoch durchaus Erfolge feiern.
mehr lesen 0 Kommentare