Lineare Abbildungen und Matrizen

Grundlegendes

Definition einer Linearen Abbildung:

Eine lineare Abbildung (genauer: eine K-lineare Abbildung) von V nach W ist eine Abbildung f : V → W, die verträglich ist mit den Additionen und den skalaren Multiplikationen auf V und W. Das bedeutet, dass für alle v,w∈V und λ∈ K gilt: f(v + w) = f(v) + f(w), f(λv) = λf(v). Die Menge aller linearen Abbildungen von V nachW bezeichnen man mit HomK(V,W). Dies ist eine Teilmenge von Abb(V,W).

 

Begriffserklärung:

  • Eine lineare Abbildung nennt man auch Homomorphismus. (oft geschrieben als HomK)
  • Eine bijektive lineare Abbildung heißt Isomorphismus von Vektorräumen.
  • Zwei Vektorräume V und W heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus f : V →W gibt

 

Eigenschaften:

  1.  Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Dann gilt f(0V) = 0W und f(−v) = −f(v) für alle v∈V.
  2.  Sei f : V → W ein Isomorphismus. Dann ist auch f−1: W → V ein Isomorphismus.
  3.  Sind f : U →V und g: V →W Homomorphismen von Vektorräumen, so ist auch g◦ f : U→W ein Homomorphismus von Vektorräumen
  4. Sei f : V →W ein Homomorphismus.
    •  f ist genau dann injektiv, wenn für jede linear unabhängige Teilmenge L von V die Teilmenge f(L) von W linear unabhängig ist. So zu beweisen:

      λnbn mit paarweise verschiedenen linear unabhängigen bi. Dann ist:

      0 = f(v) = f(λ1b1 +···+ λnbn)

      = λ1f(b1) +···+ λnf(bn).

    •  f ist genau dann surjektiv, wenn für jedes Erzeugendensystem E von V die Teilmenge f(E) von W ein Erzeugendensystem ist. So zu beweisen: Sei also w ∈ W. Dann gibt es f(b1),..., f(bn)∈ f(B) und λ1,...,λn ∈ K mit

      w = λ1f(b1) +···+ λnf(bn)

      = f(λ1b1 +···+ λnbn),

  5. Sei n ∈ ℕ. Ein Vektorraum V ist genau dann isomorph zu Kn, wenn V die Dimension n hat.
  6.  Sei f : V → W. Aus Punkt 4 folgt auch,
    1. dass wenn f injektiv ist gilt:

      DimkV ≤ DimkW

    2. dass wenn f surjektiv ist gilt:

      DimkV ≥ DimkW

Lineare Abbildungen und Basen

Sei V ein Vektorraum und B eine Basis von V. Dann können wir jede lineare Abbildung f : V →W von V in einen weiteren Vektorraum W einschränken zu einer Abbildung f|B: B → W. Dies ist nun eine Abbildung der Menge B in die Menge W. Auf diese Weise liefert die Einschränkung also eine Abbildung von der Menge HomK(V,W) in die Menge Abb(B,W).

Die Einschränkungsabbildung HomK(V,W) → Abb(B,W) ist eine Bijektion.


Beweis:

Zunächst zeigen wir, dass die Abbildung injektiv ist. Seien dazu f und g in HomK(V,W) gegeben mit f|B= g|B. Wir wollen f = g zeigen. Sei v∈V. Dann kann man v schreiben als Linearkombination von Elementenaus B: v = λ1b1 +···+λnbn. Dann ist

 

 

f(v) = f(λ1b1 +···+ λnbn)

 

           = λ1f(b1) +···+ λnf(bn)

 

             = λ1g(b1) +···+ λng(bn)

 

        = g(λ1b1 +···+ λnbn)

 

= g(v).

 

 

Also ist f = g. Nun zeigen wir die Surjektivität. Sei h: B→W eine beliebige Abbildung. Dann definieren wir f : V → W folgendermaßen. Sei v ∈ V. Dann gibt es genau eine Linearkombination v = λ1b1 +···+ λnbn von paarweise verschiedenen Elementen aus B. Wir definieren dann

 

f(v) := λ1h(b1) +···+ λnh(bn)

 

.

Wegen der Eindeutigkeit der Linearkombination ist dies eine wohldefinierte, sogar lineare Abbildung von V nach W und nach Konstruktion gilt f|B = h.

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