Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel ist eine Formel um quadratische Gleichungen der Form 0=ax2+bx+c lösen zu können. Wenn ihr also eine Gleichung habt, die so aussieht, dann erhaltet ihr die Nullstellen in dem ihr die Zahlen a, b und c in folgende Formel einsetzt:

Das ± gleich nach dem b bedeuten ihr rechnet es einmal für + und einmal für - aus, da es ja bei quadratischen Funktionen/Gleichungen 2 Nullstellen/Lösungen geben kann.

Beispiel Schritt für Schritt

  • Wenn ihr diese Gleichung lösen möchtet (falls die Gleichung noch nicht in dieser Form ist, müsst ihr sie davor mit der Äquivalenzumformung auf diese Form bringen), geht ihr so vor:

  • Bestimmt a, b und c aus der Gleichung. (Das vor dem x hoch 2 ist a, das vor dem x ist b und das ohne x ist c)

  • Dann setzt ihr a,b und c in die Mitternachtsformel ein, nämlich einmal mit Plus und einmal mit Minus. Das ergibt dann die beiden Lösungen. Sollte eine Gleichung nicht lösbar sein, oder beide (z.B. Minuszahl unter der Wurzel) dann hat die Gleichung nur eine, bzw. keine Lösung.
  • Also sind die Lösungen der Gleichung 1 und -1,5.



Beispiel 2

5x+3x2-7=2x2+3x

  • Wenn ihr eine quadratische Gleichung in einer anderen Form habt, müsst ihr sie erst umformen, sodass ihr a, b und c bestimmen könnt.

5x+3x2-7=2x2+3x  |-(2x2+3x)

  • Also bringt alles auf eine Seite

5x+3x2-7-2x2-3x=0

  • Addiert bzw. subtrahiert alle gleichen Unbekannten, also alle x hoch 2, x und das ohne Unbekannte.

2x+x2-7=0

-> x2+2x-7=0

  • Dann habt ihr diese Form, ihr könnt ihr noch in die richtige Reihenfolge bringen, falls es euch dann leichter fällt.

  • Danach setzt ihr a, b und c in die Gleichung ein und erhaltet so die Lösung

Übungsaufgaben / Beispiele

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5x2+x-4=0 Einblenden
2x2+3x-2=0 Einblenden

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