Symmetrie

Zum Thema Symmetrie bei Figuren geht´s HIER. Es gibt bei Funktionen 2 wesentliche Arten von Symmetrie die ihr kennen müsst:

Achsensymmetrie

Die Achsensymmetrie liegt vor, wenn die Funktion eine senkrechte Spiegelachse hat. 

  • diese liegt vor, wenn f(-x)=f(x) ist
  • diese Symmetrie kommt fast ausschließlich bei Funktionen mit geradem Exponenten und der Betragsfunktion vor.

Hier seht ihr ein Beispiel für Achsensymmetrie. Das Rote ist die Symmetrieachse, was hier gleichzeitig die y-Achse ist.


Punktsymmetrie

Punktsymmetrie bedeutet, dass die Funktion einen Spiegelpunkt hat. An diesem Spiegeln sich alle Werte der Funktion.

  • Punktsymmetrie liegt vor, wenn -f(x)=f(-x) ist
  • Diese Symmetrie kommt unter anderem bei Funktionen mit ungeraden Exponenten vor

Hier ein Beispiel für Punktsymmetrie, dabei ist der Koordinatenursprung der Spiegelpunkt.


Auf Achsensymmetrie überprüfen

Symmetrisch zur y-Achse?

Möchtet ihr wissen, ob eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, geht ihr so vor: 

Prüft, ob für f(-x)=f(x) dasselbe rauskommt, also setzt einmal -x in die Funktion ein und schaut, ob dasselbe rauskommt wie bei +x, wenn ja ist sie achsensymmetrisch.  

 

Beispiel:

  • Ist diese Funktion achsensymmetrisch? 

  • Kommt für f(-x) dasselbe für f(x) raus? Also setzt statt x, -x in die Funktion ein. 

  • Wie ihr seht, kommt für f(-x) dasselbe raus, wie für f(x). Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

Verschobene Funktion achsensymmetrisch?

Ist die Funktion nach links oder rechts verschoben (siehe Artikel zur Verschiebung), müsst ihr die Funktion ohne Verschiebung auf Achsensymmetrie untersuchen. Ist sie dann achsensymmetrisch, ist die verschobene Funktion ebenfalls achsensymmetrisch und die Spiegelachse ist um denselben Wert verschoben wie die Funktion. 

 

Beispiel:

  • Ist diese Funktion achsensymmetrisch?

  • Wie ihr merkt, ist die Funktion um zwei nach rechts verschoben. Also müsst ihr sie erstmal ohne Verschiebung betrachten (lasst also die Zahl am x weg).

  • Überprüft nun die Funktion ohne Verschiebung auf Achsensymmetrie. Es kommt für -x und +x dasselbe raus, also ist die Funktion achsensymmetrisch.

  • Wie ihr seht, ist die Funktion achsensymmetrisch. Da sie aber um 2 nach rechts verschoben ist, ist auch die Symmetrieachse um 2 nach rechts verschoben.

Die Funktion und Symmetrieachse sehen dann so aus:

Achsensymmetrisch zu bestimmter Achse?

Möchtet ihr wissen, ob eine Funktion zu einer bestimmten Achse symmetrisch ist, geht ihr so vor: 

1. Setzt für x in die Funktion x0+h ein, dabei ist x0 die x-Koordinate bei der die mögliche Symmetrieachse liegt. Mathematisch sieht das so aus: 

2. Macht das ganze nochmal, nur mit einem Minus, also:

3. Vereinfacht beides soweit wie möglich.

4. Kommt bei beidem dasselbe raus, dann ist diese Achse die Symmetrieachse der Funktion

 

 

Beispiel:

Ist die Funktion f(x) = x2-4x+4 achsensymmetrisch zu der Achse x = 2

  • Setzt nun für jedes x, wie oben beschrieben, 2+h ein (2 ist x0, also die Stelle bei der die Achse liegt): 
  • Vereinfacht das soweit wie möglich:
  • Setzt jetzt in die Funktion 2-h ein:
  • Vereinfacht auch das soweit wie möglich: 

Vergleicht beide Ergebnisse. Hier kommt beide Male h2 raus, also sind die Ergebnisse gleich. Somit ist x=2 die Symmetrieachse dieser Funktion.

Auf Punktsymmetrie überprüfen

Symmetrisch zum Ursprung?

Möchtet ihr wissen, ob eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, geht ihr so vor: 

Punktsymmetrie liegt vor, wenn -f(x)=f(-x), also nehmt einmal die ganze Funktion mal -1 und einmal nur -x für x einsetzen, wenn beide Male dasselbe rauskommt, ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung. 

 

Beispiel:

  • Ist diese Funktion punktsymmetrisch?

  • Nehmt einmal die Funktion mal -1 und einmal setzt ihr für x, -x ein. Wie ihr seht, kommt beide male dasselbe raus, also ist die Funktion punktsymmetrisch.

Verschobene Funktion punktsymmetrisch?

Ist eine punktsymmetrische Funktion verschoben, müsst ihr aufpassen, dann müsst ihr nur die reine Funktion ohne Verschiebungen so überprüfen (also lasst die Verschiebung in y-Richtung und x-Richtung weg). Die Verschiebungen sind dann der Symmetriepunkt (also ist es eine punktsymmetrische Funktion, aber z.B. 3 nach oben und eins nach links verschoben, dann ist der Symmetriepunkt (1|3)).

 

Beispiel:

  • Ist diese Funktion punktsymmetrisch? 

  • Da diese Funktion verschoben ist, müsst ihr sie erstmal ohne Verschiebungen betrachten. Vom Beispiel weiter oben wisst ihr bereits, dass sie punktsymmetrisch ist.

  • Da die Funktion um 2 nach rechts und 1 nach oben verschoben ist, ist der Spiegelpunkt genau an dieser Stelle.

Punktsymmetrisch zu bestimmtem Punkt?

Möchtet ihr eine Funktion auf Punktsymmetrie zu einem bestimmten Punkt überprüfen, macht ihr das so: 

 

1.Setzt den Punkt, welcher der Symmetriepunkt sein soll, für x0 und y0 so in die Funktion ein:

(also setzt für x die x-Koordinate des Punktes in die Funktion ein plus h, dann zieht ihr von der Funktion die y-Koordinate des vermutlichen Symmetriepunktes ab, siehe Beispiel).

2. Setzt den Punkt, welcher der Symmetriepunkt sein soll, für x0 und y0 jetzt so in die Funktion ein: 

3. Vereinfacht beides soweit wie möglich. Kommt bei beiden dasselbe raus, dann ist der Punkt der Symmetriepunkt.

 

 

Beispiel:

Ist diese Funktion punktsymmetrisch zum Punkt (-1|2):

  • Setzt alles in die Formel von oben ein, also für x setzt ihr (-1+h) ein (-1 ist die x-Koordinate vom Punkt). Am Ende zieht ihr dann 2 ab (yKoordinate vom Punkt).  
  • Vereinfacht das dann soweit wie möglich: 
  • Jetzt setzt ihr alles genauso in die Gleichung von Schritt 2 ein: 
  • Vereinfacht das dann wieder soweit wie möglich:

Wie ihr jetzt seht, kommt bei beiden Formeln dasselbe raus, also ist die Funktion zum Punkt (-1|2) symmetrisch.

Weitere Beispiele

Ist die Funktion f(x)=x4 achsensymmetrisch? Einblenden
Ist die Funktion f(x)=(x+2)2+1 achsensymmetrisch? Einblenden
Ist die Funktion f(x)=x5 punktsymmetrisch? Einblenden
Ist die Funktion f(x)=(x+3)3-1 punktsymmetrisch? Einblenden

Übungsaufgaben

Übungsaufgaben zu diesem Thema findet ihr über den Button unten. Dort könnt ihr euch Übungsblätter downloaden oder die Aufgaben einfach von dort abschreiben. Lösungen zu den Aufgaben findet ihr dort ebenfalls:

Symmetrierechner:

Hier der Symmetrierechner (falls nicht angezeigt, liegt es an Adblock):

  • even function bedeutet achsensymmetrisch
  • odd function bedeutet punktsymmetrisch

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