Symmetrie

Zum Thema Symmetrie bei Figuren geht´s HIER. Es gibt bei Funktionen 2 wesentliche Arten von Symmetrie die ihr kennen müsst:

Achsensymmetrie

  • diese liegt vor, wenn f(-x)=f(x) ist
  • diese Symmetrie kommt fast ausschließlich bei Funktionen mit geradem Exponenten und der Betragsfunktion vor.

Hier seht ihr ein Beispiel für Achsensymmetrie. Das Rote ist die Symmetrieachse, was hier gleichzeitig die y-Achse ist.


Punktsymmetrie

  • Punktsymmetrie liegt vor, wenn -f(x)=f(-x) ist
  • Diese Symmetrie kommt unter anderem bei Funktionen mit ungeraden Exponenten vor

Hier ein Beispiel für Punktsymmetrie, dabei ist der Koordinatenursprung der Spiegelpunkt.


Auf Symmetrie überprüfen

Achsensymmetrie

  1. Prüft, ob bei f(-x)=f(x) dasselbe rauskommt
  2. also setzt einmal -x in die Funktion ein und schaut, ob dasselbe rauskommt wie bei +x, wenn ja ist es achsensymmetrisch. (Beispiel 1)
  3. Achtung! Ist die Funktion nach links oder rechts verschoben (also steht direkt am x eine Zahl mit plus oder minus) müsst ihr die Funktion ohne diese Verschiebung auf Achsensymmetrie untersuchen (HIER genaueres zu Verschiebungen von Funktionen). Ist sie dann achsensymmetrisch, ist die Symmetrieachse um genau diesen Wert auch verschoben. (funktioniert genauso wie bei Beispiel 3)

Punktsymmetrie

  1. Punktsymmetrie liegt vor, wenn -f(x)=f(-x)
  2. Also nehmt einmal die ganze Funktion mal -1 und einmal nur -x für x einsetzen, wenn beide Male dasselbe rauskommt, ist es punktsymmetrisch zum Ursprung. (Beispiel 2)
  3. Achtung! Ist aber eine Punktsymmetrische Funktion verschoben, müsst ihr aufpassen, dann müsst ihr nur die reine Funktion ohne Verschiebungen so überprüfen (also lasst z.B. die Verschiebung in y-Richtung weg)(HIER genaueres zu Verschiebungen von Funktionen)! Die Verschiebungen sind dann der Symmetriepunkt (also ist es eine punktsymmetrische Funktion, aber z.B. 3 nach oben und eins nach links verschoben, dann ist der Symmetriepunkt (1|3)). (Beispiel 3)

Beispiel 1: Achsensymmetrie

Ihr habt die Funktion gegeben und wollt sie auf Achsensymmetrie überprüfen, wie zum Beispiel diese.


Dann prüft ob für f(-x) das selbe raus kommt wie bei f(x), also der normalen Funktion, dafür setzt ihr -x für x in die Funktion ein.


Wie ihr seht kommt dasselbe raus, daher ist diese Funktion achsensymmetrisch.


Bespiel 2: Punktsymmetrie

Möchtet ihr diese Funktion auf Punktsymmetrie überpfüfen....


...müsst ihr zunächst ausrechnen was für f(-x)....


.... und für -f(x) raus kommt.


Ist dies beide Male das selbe, dann ist die Funktion punktsymmetrisch


Beispiel 3: Verschobene Funktion

Habt ihr eine Funktion die verschoben ist geht ihr so vor:


Guckt erstmal wie die Funktion ohne Verschiebungen aussieht, zum Thema wie man verschobene Funktionen erkennt geht´s HIER.


Wie ihr aus Besipiel 3 wisst, ist diese Funktion punktsymmetrisch. Dann müsst ihr euch nur noch den Symmetriepunkt überlegen.

Der Symmetriepunkt ist dann genauso verschoben, wie die Funktion selbst verschoben ist, also um 2 nach rechts und 3 nach oben. Dort liegt dann auch der Symmetriepunkt. 


Übungsaufgaben (mit Lösungen)

Ist die Funktion f(x)=x4 achsensymmetrisch? Einblenden
Ist die Funktion f(x)=(x+2)2+1 achsensymmetrisch? Einblenden
Ist die Funktion f(x)=x5 punktsymmetrisch? Einblenden
Ist die Funktion f(x)=(x+3)3-1 punktsymmetrisch? Einblenden

Symmetrierechner:

Hier der Symmetrierechner (falls nicht angezeigt, liegt es an Adblock):

  • even function bedeutet achsensymmetrisch
  • odd function bedeutet punktsymmetrisch

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