Potenzfunktion - Eine Übersicht

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form:

 

f(x)=xn

 

mit n∈ℤ\{0} (das bedeutet man darf alle ganzen Zahlen für n einsetzen, aber nicht die 0). Man darf die Null nicht einsetzen, da sonst immer 1 raus kommen würde, egal was man für x einsetzt, da x0=1 ist. Wie ihr vielleicht schon bemerkt habt, sind die quadratische und lineare Funktion ebenfalls Potenzfunktionen.

Potenzfunktionen beispielhaft im Koordinatensystem gezeichnet.

Beispiele für Potenzfunktionen

y=x

y=x4

y=x-2

 


Graphen von Potenzfunktionen

Die Graphen von Potenzfunktionen unterscheiden sich, je nachdem, ob der Exponent gerade, ungerade, positiv oder negativ ist. Hier seht ihr alle Fälle:

 

Gerader und positiver Exponent:

z.B. f(x)=x2

Graphen von Potenzfunktionen mit geradem und positivem Exponent

Gerader und negativer Exponent:

z.B. f(x)=x-2

Graph von einer Potenzfunktion mit geradem und negativem Exponent

Ungerader und positiver Exponent:

z.B. f(x)=x3

Graph von einer Potenzfunktion mit ungeradem und positivem Exponent

Ungerader und negativer Exponent:

z.B. f(x)=x-3

Graph von einer Potenzfunktion mit ungeradem und negativem Exponent

Eine Potenzfunktion der Form:

f(x)=a·xn

 

kann verschiedene Graphen beschreiben, hier seht ihr welchen Graphen sie wann abbildet:

 

1. Gerade (n=1)

  • Ist n=1 so ist die Funktion linear und es ergibt sich eine Gerade.
  • f(x)=a·x1 =a·x

2. Parabel (n>1)

  • Ist n>1 so ergeben sich Parabeln, z.B.:  f(x)=a·x2
  • Man nennt diese dann Parabeln n-ter Ordnung. Bei unserem Beispiel wäre es also eine Parabel 2-ter Ordnung.

3. Hyperbel (n<0)

  • Ist n<0, also Minuszahlen, ergeben sich Hyperbeln.
  • Diese nennt man dann auch Hyperbeln n-ter Ordnung. Das hier wäre eine Hyperbel 3. Ordnung: f(x)=a·x-3

4. Faktor a

  • Das a bewirkt nur, dass die Funktion steiler wird, wenn das a groß ist und flacher, wenn a klein ist.

Hier geht´s zur Wurzelfunktion, die eine spezielle Form der Potenzfunktion ist.

Definitions- und Wertemenge

Die Definitions- und Wertemenge hängt davon ab, ob der Exponent gerade, oder ungerade ist, und ob positiv oder negativ. Hier seht ihr die jeweilige Definitions- und Wertemengen:

Gerader und positiver Exponent:

  • D=ℝ
  • W=ℝ0+

Gerader und negativer Exponent:

  • D=ℝ/{0}
  • W=ℝ+

Ungerader und positiver Exponent:

  • D=ℝ
  • W=ℝ

Ungerader und negativer Exponent:

  • D=ℝ/{0}
  • W=ℝ/{0}

Symmetrie

Die Symmetrie hängt ebenfalls davon ab, ob der Exponent positiv oder negativ ist. Eine ausführliche Erklärung zur Symmetrie findet ihr im Artikel zur Symmetrie.

Gerader Exponent:

  • achsensymmetrisch (zur y-Achse)

Ungerader Exponent:

  • punktsymmetrisch (zum Koordinatenursprung)

Grenzwerte

Die Grenzwerte einer Potenzfunktion sind ebenfalls von ihrem Exponent abhängig:

Gerader und positiver Exponent:

  • limx→∞f(x)=∞ 

  • limx→-∞f(x)=∞

  • limx→+0f(x)=0

  • limx→-0f(x)=0

Gerader und negativer Exponent:

  • limx→∞f(x)=0

  • limx→-∞f(x)=0

  • limx→+0f(x)=∞

  • limx→-0f(x)=∞

Ungerader und positiver Exponent:

  • limx→∞f(x)=∞

  • limx→-∞f(x)=-∞

  • limx→+0f(x)=0

  • limx→-0f(x)=0

Ungerader und negativer Exponent:

  • limx→∞f(x)=0

  • limx→-∞f(x)=0

  • limx→+0f(x)=∞

  • limx→-0f(x)=-∞


Monotonie

Die Monotonie hängt, wie so vieles, auch vom Exponenten ab, hier alle Fälle:

Gerader und positiver Exponent:

  • strengmonoton fallend bis 0
  • strengmonoton steigend ab 0

Gerader und negativer Exponent:

  • strengmonoton steigend (komplett)

Ungerader und positiver Exponent:

  • strengmonoton steigend bis 0
  • strengmonoton fallend ab 0

Ungerader und negativer Exponent:

  • strengmonoton fallend (komplett)

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