Wichtige Eigenschaften der Reellen Zahlen ℝ

Je zwei Elementen a,b ∈ℝ ist eindeutig ein Element a + b ∈ℝ zugeordnet, das als ” Summe von a und b“ bezeichnet wird.

  • (Assoziativgesetz) Für alle a,b,c ∈ℝ gilt (a + b) + c = a + (b + c).
  • (Existenz des neutralen Elements) Es gibt ein eindeutig bestimmtes Element in ℝ, das mit ”Null“ bezeichnet wird und folgende Eigenschaft hat: a + 0 = a  ∀a∈ℝ .
  • (Existenz des inversen Elements) Zu jedem Element a ∈ℝ gibt es ein eindeutig bestimmtes Element b ∈R, so dass a + b = 0 ist. Wir bezeichnen b als (−a).
  • (Kommutativgesetz) Für alle a,b ∈ℝ gilt: a + b = b + a.

 

Je zwei Elementen a,b ∈ℝ ist eindeutig ein Element a·b = ab ∈ℝ zugeordnet, das als ”Produkt von a und b“ bezeichnet wird.

  • (Assoziativgesetz) Für alle a,b,c ∈ℝ gilt (ab)c = a(bc).
  • (Existenz des neutralen Elements der Multiplikation) Es gibt ein eindeutig bestimmtes Element in ℝ, das mit ”Eins“ bezeichnet wird und von Null verschieden ist, so dass a·1 = a ∀a ∈ℝ. γ)
  • (Existenz des inversen Elements bzgl. der Multiplikation) Für alle a ∈ ℝ\{0} gibt es genau ein b ∈ℝ, so dass a·b = 1. Wir schreiben b = a−1. δ)
  • (Kommutativgesetz) ∀a,b ∈ℝ gilt: ab = ba.
  • (Distributivgesetz) Für alle a,b,c ∈ℝ gilt a(b + c) = ab + ac.

 

(Ordnungsrelation) In ℝ ist eine Ordnungsbeziehung gegeben, d.h. für beliebige Paare a,b ∈ℝ steht fest, ob a ≤ b ist oder nicht.

  • (Reflexivität) a ≤ a ∀a ∈ℝ.
  • (Identit¨atsgesetz) Aus a ≤ b, b ≤ a folgt a = b für alle a,b ∈ℝ.
  • (Transitivitätsgesetz) Aus a ≤ b, b ≤ c folgt a ≤ c für alle a,b,c ∈ℝ.
  • (Axiom der linearen Ordnung) Sind a,b ∈ ℝ, so gilt mindestens eine der beiden Aussagen a ≤ b oder b ≤ a.
  • (Konsistenz oder Verträglichkeit der Ordnungsrelation mit der Addition) Sind a,b,c ∈ ℝ und ist a ≤ b, so folgt a + c ≤ b + c.
  • (Konsistenz mit der Multiplikation) Sind a,b,c ∈ℝ, ist a ≤ b und 0 ≤ c, so folgt ac ≤ bc.
  • (Vollständigkeitsaxiom oder Axiom vom Dedekind’schen Schnitt) Seien Mu,Mo nichtleere Teilmengen von ℝ mit der Eigenschaft: Ist a ∈ Mu und b ∈ Mo, so gilt a ≤ b. Dann gibt es einen Punkt c ∈ℝ, so dass a ≤ c ≤ b für alle Paare (a,b) ∈ Mu×Mo.

Blog


NEU: Spickzettel A6

Die neuen Spickzettel A6 by Studimup sind da! Das sind Lernkarten mit knackigen und einfachen Erklärungen im praktischen DIN A6 Format. Sie ermöglichen es einfach Mathe zu lernen und zu wiederholen, egal wo man ist, ob im Bus, der Bahn oder in der Sonne auf dem Balkon. In drei Varianten nach Klassenstufen unterteilt, findet jeder seine passenden Lernkarten:

mehr lesen 0 Kommentare