Wichtige Eigenschaften der Reellen Zahlen ℝ

Je zwei Elementen a,b ∈ℝ ist eindeutig ein Element a + b ∈ℝ zugeordnet, das als ” Summe von a und b“ bezeichnet wird.

  • (Assoziativgesetz) Für alle a,b,c ∈ℝ gilt (a + b) + c = a + (b + c).
  • (Existenz des neutralen Elements) Es gibt ein eindeutig bestimmtes Element in ℝ, das mit ”Null“ bezeichnet wird und folgende Eigenschaft hat: a + 0 = a  ∀a∈ℝ .
  • (Existenz des inversen Elements) Zu jedem Element a ∈ℝ gibt es ein eindeutig bestimmtes Element b ∈R, so dass a + b = 0 ist. Wir bezeichnen b als (−a).
  • (Kommutativgesetz) Für alle a,b ∈ℝ gilt: a + b = b + a.

 

Je zwei Elementen a,b ∈ℝ ist eindeutig ein Element a·b = ab ∈ℝ zugeordnet, das als ”Produkt von a und b“ bezeichnet wird.

  • (Assoziativgesetz) Für alle a,b,c ∈ℝ gilt (ab)c = a(bc).
  • (Existenz des neutralen Elements der Multiplikation) Es gibt ein eindeutig bestimmtes Element in ℝ, das mit ”Eins“ bezeichnet wird und von Null verschieden ist, so dass a·1 = a ∀a ∈ℝ. γ)
  • (Existenz des inversen Elements bzgl. der Multiplikation) Für alle a ∈ ℝ\{0} gibt es genau ein b ∈ℝ, so dass a·b = 1. Wir schreiben b = a−1. δ)
  • (Kommutativgesetz) ∀a,b ∈ℝ gilt: ab = ba.
  • (Distributivgesetz) Für alle a,b,c ∈ℝ gilt a(b + c) = ab + ac.

 

(Ordnungsrelation) In ℝ ist eine Ordnungsbeziehung gegeben, d.h. für beliebige Paare a,b ∈ℝ steht fest, ob a ≤ b ist oder nicht.

  • (Reflexivität) a ≤ a ∀a ∈ℝ.
  • (Identit¨atsgesetz) Aus a ≤ b, b ≤ a folgt a = b für alle a,b ∈ℝ.
  • (Transitivitätsgesetz) Aus a ≤ b, b ≤ c folgt a ≤ c für alle a,b,c ∈ℝ.
  • (Axiom der linearen Ordnung) Sind a,b ∈ ℝ, so gilt mindestens eine der beiden Aussagen a ≤ b oder b ≤ a.
  • (Konsistenz oder Verträglichkeit der Ordnungsrelation mit der Addition) Sind a,b,c ∈ ℝ und ist a ≤ b, so folgt a + c ≤ b + c.
  • (Konsistenz mit der Multiplikation) Sind a,b,c ∈ℝ, ist a ≤ b und 0 ≤ c, so folgt ac ≤ bc.
  • (Vollständigkeitsaxiom oder Axiom vom Dedekind’schen Schnitt) Seien Mu,Mo nichtleere Teilmengen von ℝ mit der Eigenschaft: Ist a ∈ Mu und b ∈ Mo, so gilt a ≤ b. Dann gibt es einen Punkt c ∈ℝ, so dass a ≤ c ≤ b für alle Paare (a,b) ∈ Mu×Mo.

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