Wichtige Eigenschaften der Reellen Zahlen ℝ

Je zwei Elementen a,b ∈ℝ ist eindeutig ein Element a + b ∈ℝ zugeordnet, das als ” Summe von a und b“ bezeichnet wird.

  • (Assoziativgesetz) Für alle a,b,c ∈ℝ gilt (a + b) + c = a + (b + c).
  • (Existenz des neutralen Elements) Es gibt ein eindeutig bestimmtes Element in ℝ, das mit ”Null“ bezeichnet wird und folgende Eigenschaft hat: a + 0 = a  ∀a∈ℝ .
  • (Existenz des inversen Elements) Zu jedem Element a ∈ℝ gibt es ein eindeutig bestimmtes Element b ∈R, so dass a + b = 0 ist. Wir bezeichnen b als (−a).
  • (Kommutativgesetz) Für alle a,b ∈ℝ gilt: a + b = b + a.

 

Je zwei Elementen a,b ∈ℝ ist eindeutig ein Element a·b = ab ∈ℝ zugeordnet, das als ”Produkt von a und b“ bezeichnet wird.

  • (Assoziativgesetz) Für alle a,b,c ∈ℝ gilt (ab)c = a(bc).
  • (Existenz des neutralen Elements der Multiplikation) Es gibt ein eindeutig bestimmtes Element in ℝ, das mit ”Eins“ bezeichnet wird und von Null verschieden ist, so dass a·1 = a ∀a ∈ℝ. γ)
  • (Existenz des inversen Elements bzgl. der Multiplikation) Für alle a ∈ ℝ\{0} gibt es genau ein b ∈ℝ, so dass a·b = 1. Wir schreiben b = a−1. δ)
  • (Kommutativgesetz) ∀a,b ∈ℝ gilt: ab = ba.
  • (Distributivgesetz) Für alle a,b,c ∈ℝ gilt a(b + c) = ab + ac.

 

(Ordnungsrelation) In ℝ ist eine Ordnungsbeziehung gegeben, d.h. für beliebige Paare a,b ∈ℝ steht fest, ob a ≤ b ist oder nicht.

  • (Reflexivität) a ≤ a ∀a ∈ℝ.
  • (Identit¨atsgesetz) Aus a ≤ b, b ≤ a folgt a = b für alle a,b ∈ℝ.
  • (Transitivitätsgesetz) Aus a ≤ b, b ≤ c folgt a ≤ c für alle a,b,c ∈ℝ.
  • (Axiom der linearen Ordnung) Sind a,b ∈ ℝ, so gilt mindestens eine der beiden Aussagen a ≤ b oder b ≤ a.
  • (Konsistenz oder Verträglichkeit der Ordnungsrelation mit der Addition) Sind a,b,c ∈ ℝ und ist a ≤ b, so folgt a + c ≤ b + c.
  • (Konsistenz mit der Multiplikation) Sind a,b,c ∈ℝ, ist a ≤ b und 0 ≤ c, so folgt ac ≤ bc.
  • (Vollständigkeitsaxiom oder Axiom vom Dedekind’schen Schnitt) Seien Mu,Mo nichtleere Teilmengen von ℝ mit der Eigenschaft: Ist a ∈ Mu und b ∈ Mo, so gilt a ≤ b. Dann gibt es einen Punkt c ∈ℝ, so dass a ≤ c ≤ b für alle Paare (a,b) ∈ Mu×Mo.

Blog


Geld sparen mit dem int. Studentenausweis

Studenten und Schüler sind meist knapp bei Kasse und daher wird jede Möglichkeit genutzt Geld zu sparen. Eine dieser Möglichkeiten ist der internationale Studenten- und Schülerausweis (ab 12 Jahren). Mit diesem könnt ihr in über 135 Ländern Vergünstigungen bekommen! Dafür müsst ihr nur 15€ für den Ausweis zahlen. Übrigens gibt es den Ausweis auch für Lehrer!

mehr lesen 0 Kommentare