Wichtige Eigenschaften der Reellen Zahlen ℝ

Je zwei Elementen a,b ∈ℝ ist eindeutig ein Element a + b ∈ℝ zugeordnet, das als ” Summe von a und b“ bezeichnet wird.

  • (Assoziativgesetz) Für alle a,b,c ∈ℝ gilt (a + b) + c = a + (b + c).
  • (Existenz des neutralen Elements) Es gibt ein eindeutig bestimmtes Element in ℝ, das mit ”Null“ bezeichnet wird und folgende Eigenschaft hat: a + 0 = a  ∀a∈ℝ .
  • (Existenz des inversen Elements) Zu jedem Element a ∈ℝ gibt es ein eindeutig bestimmtes Element b ∈R, so dass a + b = 0 ist. Wir bezeichnen b als (−a).
  • (Kommutativgesetz) Für alle a,b ∈ℝ gilt: a + b = b + a.

 

Je zwei Elementen a,b ∈ℝ ist eindeutig ein Element a·b = ab ∈ℝ zugeordnet, das als ”Produkt von a und b“ bezeichnet wird.

  • (Assoziativgesetz) Für alle a,b,c ∈ℝ gilt (ab)c = a(bc).
  • (Existenz des neutralen Elements der Multiplikation) Es gibt ein eindeutig bestimmtes Element in ℝ, das mit ”Eins“ bezeichnet wird und von Null verschieden ist, so dass a·1 = a ∀a ∈ℝ. γ)
  • (Existenz des inversen Elements bzgl. der Multiplikation) Für alle a ∈ ℝ\{0} gibt es genau ein b ∈ℝ, so dass a·b = 1. Wir schreiben b = a−1. δ)
  • (Kommutativgesetz) ∀a,b ∈ℝ gilt: ab = ba.
  • (Distributivgesetz) Für alle a,b,c ∈ℝ gilt a(b + c) = ab + ac.

 

(Ordnungsrelation) In ℝ ist eine Ordnungsbeziehung gegeben, d.h. für beliebige Paare a,b ∈ℝ steht fest, ob a ≤ b ist oder nicht.

  • (Reflexivität) a ≤ a ∀a ∈ℝ.
  • (Identit¨atsgesetz) Aus a ≤ b, b ≤ a folgt a = b für alle a,b ∈ℝ.
  • (Transitivitätsgesetz) Aus a ≤ b, b ≤ c folgt a ≤ c für alle a,b,c ∈ℝ.
  • (Axiom der linearen Ordnung) Sind a,b ∈ ℝ, so gilt mindestens eine der beiden Aussagen a ≤ b oder b ≤ a.
  • (Konsistenz oder Verträglichkeit der Ordnungsrelation mit der Addition) Sind a,b,c ∈ ℝ und ist a ≤ b, so folgt a + c ≤ b + c.
  • (Konsistenz mit der Multiplikation) Sind a,b,c ∈ℝ, ist a ≤ b und 0 ≤ c, so folgt ac ≤ bc.
  • (Vollständigkeitsaxiom oder Axiom vom Dedekind’schen Schnitt) Seien Mu,Mo nichtleere Teilmengen von ℝ mit der Eigenschaft: Ist a ∈ Mu und b ∈ Mo, so gilt a ≤ b. Dann gibt es einen Punkt c ∈ℝ, so dass a ≤ c ≤ b für alle Paare (a,b) ∈ Mu×Mo.

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Berechnung der Inflation

Eine Anwendung der Mathematik, von der häufig in den Nachrichten die Rede ist, ist die Berechnung der Inflation. Als Inflation bezeichnet man den Wertverfall von Geld bzw. die Verteuerung von Preisen. Wie man diesen Preisanstieg berechnet und was es für Unterschiede bei der Berechnung gibt, erkläre ich euch in diesem Artikel. (Dies braucht ihr übrigens in den ersten Semestern bei Wirtschaftsstudiengängen z.B. bei BWL)

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