Potenzreihen und Konvergenzradius

Der Konvergenzradius ist in der Analysis eine Eigenschaft einer Potenzreihe der Form

f(x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n},

die angibt, in welchem Bereich die Potenzreihe Konvergenz garantiert ist und daher wo sie überall überhaupt richtig definiert ist.

Wichtig ist hier, dass die Potenzreihe für r selber nicht unbedingt konvergieren muss, sondern nur für alle  Zahlen, die betragsmäßig kleiner sind! Die Menge, auf der f(x) konvergiert kann also offen sein (muss es aber nicht).

Der Konvergenzradius lässt sich mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen: Es gilt

r={\frac {1}{\limsup \limits _{{n\rightarrow \infty }}\left({\sqrt[ {n}]{|a_{n}|}}\right)}}.

Dabei gilt r = 0, falls der Limes superior im Nenner gleich +\infty ist, und r=+\infty , falls er gleich {\displaystyle 0} ist.

Wenn ab einem bestimmten Index alle a_{n} von 0 verschieden sind und der folgende Limes existiert, dann kann der Konvergenzradius einfacher durch

r=\lim _{{n\rightarrow \infty }}{\bigg |}{\frac {a_{{n}}}{a_{{n+1}}}}{\bigg |}

berechnet werden.

 

Ihr denkt euch bestimmt, wozu man das macht. Es wird später von nutzen sein den Konvergenzradius zu kennen, da man dort die Funktion komponentenweise integrieren darf.

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Hilfe bei Matheproblemen - die fb Gruppe

Es gibt nun eine Facebook-Gruppe von Studimup, auf welcher ihr Hilfe bei Matheproblemen bekommt. Dies funktioniert so:

  1. Ihr stellt eure Frage als Post in die Gruppe.
  2. Wenn jemand die Antwort weiß, kann er sie in den Kommentaren beantworten. 

Wenn ihr also mal Schwierigkeiten bei einer bestimmten Aufgabe oder einem Thema habt, dann könnt ihr eure Frage in die Gruppe posten. Ebenso könnt ihr anderen Personen bei ihren Problemen helfen und so selbst das Thema üben und vertiefen. Mit der Gruppe soll es möglich sein, möglichst schnell antworten auf ein Problem zu bekommen (z.B. bei einer Hausaufgabe). Je mehr Leute mitmachen, desto besser funktioniert dieses System. 

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