Potenzreihen und Konvergenzradius

Der Konvergenzradius ist in der Analysis eine Eigenschaft einer Potenzreihe der Form

f(x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n},

die angibt, in welchem Bereich die Potenzreihe Konvergenz garantiert ist und daher wo sie überall überhaupt richtig definiert ist.

Wichtig ist hier, dass die Potenzreihe für r selber nicht unbedingt konvergieren muss, sondern nur für alle  Zahlen, die betragsmäßig kleiner sind! Die Menge, auf der f(x) konvergiert kann also offen sein (muss es aber nicht).

Der Konvergenzradius lässt sich mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen: Es gilt

r={\frac {1}{\limsup \limits _{{n\rightarrow \infty }}\left({\sqrt[ {n}]{|a_{n}|}}\right)}}.

Dabei gilt r = 0, falls der Limes superior im Nenner gleich +\infty ist, und r=+\infty , falls er gleich {\displaystyle 0} ist.

Wenn ab einem bestimmten Index alle a_{n} von 0 verschieden sind und der folgende Limes existiert, dann kann der Konvergenzradius einfacher durch

r=\lim _{{n\rightarrow \infty }}{\bigg |}{\frac {a_{{n}}}{a_{{n+1}}}}{\bigg |}

berechnet werden.

 

Ihr denkt euch bestimmt, wozu man das macht. Es wird später von nutzen sein den Konvergenzradius zu kennen, da man dort die Funktion komponentenweise integrieren darf.

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