Polynomdivision

Polynomdivision Schritt für Schritt

Die Polynomdivision ist eine Methode, mit welcher sich beispielsweise Nullstellen von Polynomen leichter berechnen lassen und womit auch Asymptoten von Polynomfunktionen bestimmt werden können. Diese Erklären wir euch anhand eines Beispiels. Dabei führt ihr immer wieder dieselben 4 Schritte aus, bis ihr fertig seid.

 

Ihr habt beispielsweise diese Polynomdivision:

Beispiel für eine Polynomdivision

Dann geht ihr Schritt für Schritt so vor:

1. Teilt das x (aus eurem Polynom (x+1)) durch das x ganz links in eurem eigentlichen Polynom. Das Ergebnis schreibt ihr hinter das = :

Erster Schritt bei der Berechnung einer Polynomdivision

 

 

2. Multipliziert das Ergebnis dann mit dem Polynom (x+1). Schreibt das Ergebnis in Klammern und einem Minus davor unter euer Polynom:

Zweiter Schritt bei der Berechnung einer Polynomdivision

 

 

3. Subtrahiert die Teile, welche nun untereinander stehen, dabei dürft ihr nicht vergessen, dass das Minus vor der Klammer steht! Das Ergebnis schreibt ihr darunterDann zieht ihr den nächsten Teil vom Polynom runter (also das Glied, welches als nächstes im Polynom steht):

Dritter Schritt bei der Berechnung einer Polynomdivision

 

 

4. Das macht ihr jetzt alles noch mal, nur dass ihr mit dem, was ihr unter dem Polynom geschrieben habt, rechnet.

 

1. Also wieder das x durch das was ganz links steht teilen und das Ergebnis hinten dran addieren:

Noch mal der erste Schritt bei der Berechnung einer Polynomdivision

 

 

2. Dann wieder das Ergebnis mal das Polynom (x+1) nehmen und das, was raus kommt, darunter mit einem Minus schreiben:

Zweiter Schritt bei der Berechnung einer Polynomdivision

 

 

3. Wieder die beiden untereinander stehenden Terme subtrahieren, das Ergebnis darunter Schreiben. Dann zieht ihr das nächste Glied aus dem Polynom runter:

Dritter Schritt bei der Berechnung einer Polynomdivision

 

 

4. Das macht ihr jetzt alles noch mal ab Schritt 4 nur, dass ihr mit dem, was ihr runter geschrieben habt, rechnet.

 

1. Also wieder das x durch das was ganz links steht teilen und das Ergebnis hinten dran addieren:

Zum dritten mal der erste Schritt bei der Berechnung einer Polynomdivision

 

 

2. Dann wieder das Ergebnis mal das Polynom (x+1) nehmen und das, was raus kommt, darunter mit einem Minus schreiben.

3. Die beiden untereinander stehenden Terme voneinander abziehen, das Ergebnis darunter Schreiben:

Die Lösung des Beispiels der Polynomdivision

 

Sobald ihr kein weiteres Glied mehr runterziehen könnt, seid ihr fertig. Falls ein Rest übrig bleibt, findet ihr weiter unten, was dann zu tun ist. Mit dem Ergebnis könnt ihr, z.B. mit der Mitternachtsformel, die restlichen Nullstellen bestimmen. 


Bleibt Rest übrig (z.B. bei Asymptoten berechnen)

Sollte ein Rest übrig bleiben, dann müsst ihr diesen noch durch euer Nullstellenpolynom teilen und hinten dran addieren. Das nennt man dann Restterm. Dann seid ihr auch fertig. Hier ein Beispiel dazu:

Beispiel für eine Polynomdivision, bei der ein Rest übrigleibt

Nullstellen berechnen

Benutzt ihr die Polynomdivision zum Berechnen von Nullstellen, dann ist oft der Term, durch den das Polynom geteilt wird, nicht gegeben. Ihr müsst dann durch Probieren eine Nullstelle finden, denn man führt die Polynomdivision mit dem Nullstellenpolynom durch. Dabei wird x minus den x-Wert der Nullstelle genommen. 

  • Zum Beispiel wenn eine Nullstelle bei 1 ist, würde das Nullstellenpolynom so aussehen: (x-1)
  • Bei einer Nullstelle bei 3 würde es so aussehen: (x+3) 

Immer so, dass Null rauskommen würde, wenn man die Nullstelle einsetzt. Dann führt ihr die Polynomdivision durch, indem ihr das Polynom, für welches ihr die Nullstellen erfahren möchtet, durch das Nullstellenpolynom teilt (geht dann so vor, wie in den vorherigen Seiten beschreiben). Habt ihr dann das Ergebnis, müsst ihr von diesem die Nullstellen bestimmen (z.B. mit der Mitternachtsformel, oder falls es immer noch ein Polynom von einem Grad größer als 2 ist, noch mal die Polynomdivision durchführen). Diese Nullstellen sind dann (zusammen mit der vom Nullstellenpolynom) die Nullstellen des Polynoms.  

Übungsaufgaben / Beispiele

Hier sind Aufgaben die ihr Lösen, oder einfach anschauen könnt. Klickt auf Einblenden, um die Lösung zu sehen:

(2x3+4x2-2x-4):(x-1)= Einblenden
(x3-2x2-5x+6):(x-1)= Einblenden

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