Logarithmus

Der Logarithmus ist die Umkehrung vom Potenzieren. Dies ist ein wichtiges, aber auch nicht schweres Thema, hier findet ihr alles Wichtige dazu, erst mal wie der Logarithmus definiert ist:

 

logba=x  →  bx=a

 Gesprochen heißt das: "Logarithmus von a zur Basis b". Dabei ist...:

  • b die Basis
  • a der Wert, welcher rauskommt, wenn man b hoch x nimmt
  • x der Exponent

Was bringt uns das?

Den Logarithmus braucht ihr, um Gleichungen zu lösen, in denen der Exponent unbekannt ist, denn sonst könntet ihr diese Gleichungen nicht lösen. Ihr wollt zum Beispiel dieses x herausfinden:

 

2x=1024

 

Das rauszufinden ist an sich nicht so leicht, aber ihr könnt es ja mit dem Logarithmus lösen, dieser ist nämlich dann:

 

2x=1024 -> log21024=x

x=10

Beispiele:

  • log28=323=8
  • log39=232=9
  • log33=131=3

Übungsaufgaben mit Beispielen:

Hier sind Aufgaben, die ihr rechnen oder einfach angucken könnt. Klickt auf einblenden, um die Lösung zu sehen:

2x=16 Einblenden
2x+2=10 Einblenden
log3x=3 Einblenden
5x=25 Einblenden
3x+4=13 Einblenden
log5x=2 Einblenden

Dekadischer Logarithmus

So wird jeder Logarithmus genannt, welcher als Basis die 10 hat. Diesen braucht ihr nicht nur bei Exponenten mit der Basis 10, sondern auch, um andere Logarithmen im Taschenrechner auszurechnen, da die meisten Taschenrechner keine Taste für alle Logarithmen haben. Meist wird der dekadische Logarithmus mit lg abgekürzt.

 

log10(a) = lg(a)

Natürlicher Logarithmus

Der sogenannte natürliche Logarithmus ist ein Logarithmus mit Basis e (eulersche Zahl). Dies ist eine besondere unendlich nicht periodische Zahl (wie π auch). Dieser Logarithmus hat auch eine spezielle Abkürzung:

 

loge(x) = ln(x)

Logarithmus im Taschenrechnet eintippen

Um einen Logarithmus im Taschenrechner einzutippen, welcher weder der dekadische, noch natürliche Logarithmus ist, also z.B. mit der Basis 2, benötigt ihr den dekadischen oder natürlichen Logarithmus. Ihr teilt dann den natürlichen/dekadischen Logarithmus der Zahl, durch den natürlichen/dekadischen Logarithmus der Basis. Dabei ist es egal, ob ihr den natürlichen oder dekadischen Logarithmus nehmt, es muss nur immer derselbe durcheinander geteilt werden:

Formel wie der Logarithmus im Taschenrechner eingetippt werden kann

Beispiele:

Beispiele, wie Logarithmen im Taschenrechner eingetippt werden können

Logarithmusgesetze

"Produkt wird zur Summe"

logb(a·c)=logba+logbc

 

Beispiel:

log3(x·9)=log3x+log39

Diese Regel besagt, dass wenn in der Klammer beim Logarithmus ein Produkt steht, man jeweils den Logarithmus für beide Faktoren einzeln berechnen kann und diese dann addieren.


log2(x·4) Einblenden
log3(9x) Einblenden


"Division wird zur Subtraktion"

Logarithmusgesetz welches besagt, dass die Division zur Subtraktion wird

Beispiel:

log3(x/9)=log3x-log39

Diese Regel besagt, dass wenn in der Klammer eine Division, bzw. Bruch steht, dann kann man es wie beim Produkt machen, nur mit einem Minus.


log3(x/27) Einblenden
log2(8/x) Einblenden


"Exponenten kann man vorziehen"

logban=n·logba

 

Beispiel:

log392=2·log39

Diese Regel besagt, dass wenn am a ein Exponent ist, man diesen vor den Logarithmus ziehen kann.


log283 Einblenden
log4165 Einblenden


Division mit gleicher Basis 

Logarithmusgesetz welches besagt, dass der Logarithmus auch als Bruch mit zwei Logarithmen mit selber Basis dargestellt werden kann

Beispiel:

Beispiel für dieses Logarithmusgesetz

Teilt man zwei Logarithmen mit selber Basis, dann kann man es zu einem Logarithmus von „a“ zur Basis „c“ umwandeln.



Basis und logarithmierter Wert gleich 

logaa=1

 

Beispiel:

log33=1

Ist das, was logarithmiert wird dasselbe, wie die Basis, ergibt es IMMER 1. 

Denn: log33=1 → 31=3



Eins logarithmiert ist immer 1 

loga1=0

 

Beispiel:

log51=0

Wird die 1 logarithmiert, kommt IMMER 0 raus.

Denn:  log31=0 → 30=1

 


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