Logarithmus

Der Logarithmus ist die Umkehrung vom Potenzieren. Dies ist ein wichtiges, aber auch nicht schweres Thema, hier findet ihr alles Wichtige dazu, erst mal wie der Logarithmus definiert ist:

 

logba=x  →  bx=a

 Gesprochen heißt das: "Logarithmus von a zur Basis b". Dabei ist...:

  • b die Basis
  • a der Wert, welcher rauskommt, wenn man b hoch x nimmt
  • x der Exponent


Was bringt uns das?

Den Logarithmus braucht ihr, um Gleichungen zu lösen, in denen der Exponent unbekannt ist, denn sonst könntet ihr diese Gleichungen nicht lösen. Ihr wollt zum Beispiel dieses x herausfinden:

 

2x=1024

 

Das rauszufinden ist an sich nicht so leicht, aber ihr könnt es ja mit dem Logarithmus lösen, dieser ist nämlich dann:

 

2x=1024 -> log21024=10

Beispiele:

  • log28=323=8
  • log39=232=9
  • log33=131=3

Übungsaufgaben mit Beispielen:

Hier sind Aufgaben, die ihr rechnen oder einfach angucken könnt. Klickt auf einblenden, um die Lösung zu sehen:

2x=16 Einblenden
2x+2=10 Einblenden
log3x=3 Einblenden
5x=25 Einblenden
3x+4=13 Einblenden
log5x=2 Einblenden

Dekadischer Logarithmus

Der dekadische Logarithmus ist ein ganz wichtiger, diesen braucht ihr nicht nur bei Exponenten mit der Basis 10, sondern auch, um andere Logarithmen im Taschenrechner auszurechnen, da die meisten Taschenrechner keine Taste für alle Logarithmen haben. Geschrieben wird der Logarithmus entweder normal mit der Basis 10 oder es gibt auch die abgekürzte Schreibweise, in welcher man einfach lg schreibt, was für den 10er Logarithmus steht:

 

log10(a) = lg(a)

Logarithmus im Taschenrechnet eintippen

Um einen Logarithmus im Taschenrechner einzutippen, welcher weder der dekadische, noch natürliche Logarithmus ist, also z.B. mit der Basis 2, benötigt ihr den dekadischen Logarithmus. Es funktioniert dann so:

So könnt ihr es dann im Taschenrechner eintippen. Ihr teilt einfach den 10er Logarithmus mit dem a, durch den 10 Logarithmus mit der Basis (b).

Natürlicher Logarithmus

Der sogenannte natürliche Logarithmus ist ein Logarithmus mit Basis e (eulersche Zahl). Dies ist eine besondere unendlich nicht periodische Zahl (wie π auch). Dieser Logarithmus hat auch eine spezielle Abkürzung:

 

loge(x) = ln(x)

Logarithmusgesetze

logb(a·c)=logba+logbc

 

Beispiel:

log3(x·9)=log3x+log39

 

"Produkt wird zur Summe"

Diese Regel besagt, dass wenn in der Klammer beim Logarithmus ein Produkt steht, man jeweils den Logarithmus für beide Faktoren einzeln berechnen kann und diese dann addieren.


log2(x·4) Einblenden
log3(9x) Einblenden


Beispiel:

log3(x/9)=log3x-log39

"Division wird zur Subtraktion"

Diese Regel besagt, dass wenn in der Klammer eine Division, bzw. Bruch steht, dann kann man es wie beim Produkt machen, nur mit einem Minus.


log3(x/27) Einblenden
log2(8/x) Einblenden


logban=n·logba

 

Beispiel:

log392=2·log39

"Exponenten kann man vorziehen"

Diese Regel besagt, dass wenn am a ein Exponent ist, man diesen vor den Logarithmus ziehen kann.


log283 Einblenden
log4165 Einblenden


Beispiel:

"Logarithmus, durch Logarithmus mit selber Basis, ergibt den Logarithmus von dem oben zu der Basis von dem unten."

Ihr könnt Logarithmen so z.B. besser im Taschenrechner eingeben, einfach das, was logarithmiert wird, durch die Basis und beides mit einem Logarithmus mit selber Basis logarithmieren. (Siehe oben "Logarithmus im Taschenrechner eintippen")



logaa=1

 

Beispiel:

log33=1

"Ist das, was logarithmiert wird das selbe, wie die Basis, ergibt es IMMER 1."

Ganz schön praktisch in manchen Fällen ;)

Denn: log33=1 → 31=3



loga1=0

 

Beispiel:

log51=0

"Wird die 1 logarithmiert, kommt IMMER 0 raus."

Denn:  log31=0 → 30=1

 


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