Ableitung

Hier findet ihr alles zur Ableitung. Klickt auf ein Thema um direkt dort hin zu scrollen:

  1. Allgemeines zur Ableitung
  2. Wie erkennt und kennzeichnet man Albeitungen?
  3. Wie funktioniert die Ableitung? 
  4. Ableitungsrechner
  5. Ableitungsregeln
  6. Beispiele
  7. mehrfache Ableitung und ihre Bedeutungen

Allgemeines zur Ableitung

Was ist die Ableitung und wozu ist sie da?

Die Ableitung ist dafür da, die Steigung einer Funktion an jedem beliebigen Punk anzugeben. Ihr kennt bereits die Berechnung der Steigung durch den Differenzialquotienten, beispielsweise bei den linearen Funktionen (nichts anderes als das Steigungsdreieck), allerdings kann man so ja nur die Steigung an einem Punkt ausrechnen und für Kurven, z.B. Parabeln ist dies erst recht schwer. Deshalb gibt es die Ableitung, sie gibt die Steigung an jedem Punkt der Funktion an, also wenn man ein x einsetzt, erhält man die Steigung an dieser Stelle.

 

Möchtet ihr nun die Steigung für die Tangente durch den Punkt P an einem x-Wert wissen, schaut ihr bei diesem einfach den y-Wert der Ableitung an, denn das ist die Steigung an diesem Punkt.

Hier seht ihr die Funktion f in grün. In rot wurde die Tangente durch den Punkt P eingezeichnet und ihr bekommt für den Punkt P immer die Steigung angezeigt, wobei ihr diesen Punkt mit dem Schieberegler verschieben könnt. So verändert sich auch die Steigung. Die Steigung wird euch mit dem Punkt M angezeigt, der für jeden x-Wert die passende Steigung der Funktion f als y-Wert hat (z.B. wenn die Funktion die Steigung m=4 am Punkt x=2 hat, dann hat M die Koordinaten (2|4)), wenn ihr dann den Punkt P verschiebt, hinterlässt der Punkt M Spuren, wo er überall war. Lila ist die Ableitung der Funktion f, da wird euch auffallen, dass der Punkt M sich genau auf dieser Linie bewegt, also auf der Ableitung, denn die Ableitung gibt ja, genauso wie der Punkt M, die passende Steigung der Funktion f für einen bestimmten x-Wert an.


Wie erkennt man, bzw. kennzeichnet man Ableitungen?

Wenn eine Funktion abgeleitet wurde, kennzeichnet man es durch einen Strich nach dem Namen der Funktion:

  • f´(x) -> 1. Ableitung
  • f´´(x) -> 2. Ableitung (wurde erst einmal abgeleitet und dann wurde die Ableitung noch mal abgeleitet)
  • f´´´(x) -> 3. Ableitung
  • ....

Für die Ableitung gibt es noch weitere Schreibweisen, außer f´(x), die aber dasselbe bedeuten:

Schreibweisen der Ableitung in einer Übersicht erklärt.

Wie funktioniert die Ableitung?

Hier seht ihr, wie die Ableitung für verschiedene Funktionen funktioniert mit jeweils einem Beispiel:

Funktion Ableitung Beispiel
f(x)=c f´(x)=0

y=5

-> y´=0

f(x)=xn

f´(x)=n·xn-1

y=x3

-> y´=3x2

f(x)=ex

f´(x)=ex

y=ex

-> y´=ex

f(x)=ln(x) f´(x)=1/x

y=3·ln(x)

-> y´=3/x

 f(x)=sin(x) f´(x)=cos(x)

y=sin(3x)

->y´=3·cos(3x)

f(x)=cos(x) f´(x)=-sin(x)

y=cos(5x)

->y´=-5·sin(5x)

f(x)=tan(x)

f´(x)=1/cos2(x)

y=3·tan(x)

->y´=3/cos2(x)

Ableitungsrechner

Hier der Ableitungsrechner (falls nicht angezeigt liegt es an AdBlocker):

Ableitungsregeln Übersicht

 

Klickt auf die Ableitungsregel für mehr Informationen, Erklärungen und Beispiele:

 

Potenzregel als Formel dargestellt und erklärt.

 

  • "Exponent vor´s x und dann den Exponenten um eins verkleinern"
  • Diese Regel müsst ihr fast immer bei einer Ableitung anwenden, wenn keine andere Funktion, wie z.B. Sinus, vorliegt.
Die Faktorregel veranschaulicht und als Formel dargestellt.

 

  • "Der Faktor vor dem x bleibt einfach stehen"
  • Die Faktorregel ist recht leicht, wenn ein Faktor mit einem Mal vor dem Teil mit der x steht, lasst ihr den einfach stehen und leitet den Teil mit der x ab.
Die Summenregel ist eine der Ableitungsregeln. Hier als Formel dargestellt.

 

  • "Jeder Summand wird für sich abgeleitet"
  • Wenn ihr eine Summe aus einzelnen Summanden mit x-en habt, dann leitet ihr einfach jeden Summanden einzeln ab.
Eine weitere Ableitungsregel ist die Differenzregel, welche ihr hier seht.

 

  • "Jeder Teil mit einem x wird für sich abgeleitet"
  • Diese Regel funktioniert wie die Summenregel
Formel der Produktregel einfach erklärt.

 

  • "Erste Funktion abgeleitet mal die zweite, plus die Erste mal die Ableitung der Zweiten"
  • Diese Regel greift, wenn ihr zwei Funktionen (Teile) mit einem x habt.
Eine der wichtigsten Ableitungsregeln ist die Kettenregel. Ihre Formel seht ihr hier.

 

  • "Die äußere Funktion abgeleitet, mal die Innere abgeleitet"
  • Die Kettenregel ist von Nöten, wenn eine Funktion in einer anderen Funktion verschachtelt ist.
Die Formel der Quotientenregel ist zwar recht lang, aber nicht sehr kompliziert.

 

 

  • "Wenn zwei Funktionen durcheinander geteilt werden, kommt die Quotientenregel zum Einsatz"
  • Dies ist die längste Regel, wenn ihr sie vermeiden könnt, dann tut das.

Beispiele

Eine Beispielaufgabe der Potenzregel mit farbigen Markierungen für besseres Verständnis.

Hier das Wichtigste, wie eine Ableitung funktioniert. Zieht erst den Exponenten vor das x. Danach zieht ihr eins vom Exponenten ab, dann habt ihr die Ableitung.


Beispiel der Faktorregel mit farbigen Umkreisungen für einfaches Verständnis.

Wie ihr in diesem Beispiel seht, wurde die Summenregel und Faktorregel angewandt. Man leitet alle Summanden einzeln ab. Dazu zieht man den Exponenten vor das x und verringert den Exponenten um 1. Der konstante Faktor fällt dabei immer weg!


Kettenregel an einem Beispiel einfach erklärt mit Farbigen Markierungen.

Hier wurde die Kettenregel angewandt. Man leitet erst die äußere Funktion ab, was in dem Fall sin ist und multipliziert dann die Ableitung der inneren Funktion daran. Das nennt man nachdifferenzieren.


Ein weiteres Beispiel der Kettenregel.

Hier wird ebenfalls die Kettenregel angewandt und das die Ableitung der e-Funktion wieder die e-Funktion ist. Also erst die äußere Funktion ableiten, was hier die e-Funktion ist. Das dann mal die Ableitung der inneren Funktion, was hier x+1 ist, also die Ableitung ist 1.


Ein kompliziertere Beispielaufgabe der Kettenregel, welche euch diese einfach erklären soll.

Und noch mal die Kettenregel. Also wieder dasselbe, äußere Funktion ist die e-Funktion, diese bleibt gleich. Innere Funktion ist cos(x), die leitet ihr ab und multipliziert es an die Ableitung der äußeren Funktion.


Beispiel für die Verkettung von mehreren Ableitungsregeln, hier von der Potenz- und der Kettenregel.
Lösung des Beispiels für die Verkettung mehrer Ableitungsregeln.

Hier ist auch die Kettenregel anzuwenden. Äußere Funktion ist das Quadrat an der Klammer. Also leitet das äußere Quadrat ab und tut so als sei die gesamte Klammer ein x, d.h. ihr schreibt die 2 einfach vor die Klammer und das hoch 2 wird zu einem hoch 1. Dann leitet ihr die innere Funktion ab und multipliziert es dran.


Beispiel für die Quotientenregel der Ableitung.

Hier müsst ihr die Quotientenregel anwenden. Also einfach genauso, wie in der Formel für die Quotientenregel einsetzten und ausrechnen.


Beispiel einer Aufgabe der Produktregel beim Ableiten.

Hier kommt die Produktregel zum Einsatz. Also erst das Erste Ableiten mal das Zweite und dann umgekehrt, also das Erste mal die Ableitung vom Zweiten.


Weiteres Beispiel der Produktregel.

Hier kommt die Produktregel zum Einsatz. Also erst das Erste Ableiten mal das Zweite und dann umgekehrt, also das Erste mal die Ableitung vom Zweiten.


Arbeitsblätter

Arbeitsblätter zu diesem Thema findet ihr über den Button unten. Dort könnt ihr euch diese downloaden. Lösungen zu den Aufgaben findet ihr dort ebenfalls:

Mehrfache Ableitung und ihre Bedeutungen

Hier seht ihr eine Funktion und ihre Ableitungen in einem Koordinatensystem gezeichnet.

Hier seht ihr die Funktion f in grün und die 1. Ableitung in orange und die 2. Ableitung in lila.

  • Die Nullstellen der 1. Ableitung sind die Extremstellen der Funktion. Ihr seht die Nullstellen A und C der 1. Ableitung. D und auch C sind dann die Extremstellen der Funktion.
  • Die Nullstellen der 2. Ableitung sind die Wendepunkte. Ihr seht die Nullstelle der 2. Ableitung B. An der Stelle x ist dann auch die Wendestelle E der Funktion.

Bolg


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