Kurvendiskussion

Hier alles was ihr über die Kurvendiskussion wissen und können müsst zusammengefasst:

Definitionsbereich und Wertemenge bestimmen

HIER geht´s zur ausführlichen Erklärung, hier noch mal zusammengefasst:

  • Definitionsbereich sagt aus, was man alles für x einsetzen darf (Tipp: guckt, ob der Nenner irgendwann Null wird, das darf nicht passieren)
  • Wertemenge ist die Menge, die rauskommen kann, wenn man alles aus der Definitionsmenge einsetzt (Tipp: guckt, ob z.B.: nur positive Zahlen rauskommen)

Nullstellen berechnen

HIER geht´s zur ausführlichen Erklärung.

Als Nächstes müsst ihr die Nullstellen berechnen. Hier die Schritte, die ihr dazu vornehmen müsst:

  1. Gleichung gleich 0 setzen (also y=0)
  2. Ausrechnen, das sind dann eure Nullstellen


y-Achsenabschnitt berechnen

HIER geht´s zur ausführlichen Erklärung.

Wenn ihr den y-Achsenabschnitt berechnen müsst, geht ihr so vor:

  1. Setzt x=0
  2. Rechnet das Ergebnis aus

Symmetrieverhalten bestimmen

HIER mehr zur Symmetrie.

Um das Symmetrieverhalten zu überprüfen, müsst ihr folgende Fälle überprüfen:

  1. Achsensymmetrie zur y-Achse
    1. Prüft, ob bei f(-x)=f(x) dasselbe rauskommt
    2. also setzt einmal -x in die Funktion ein und schaut, ob dasselbe rauskommt wie bei +x, wenn ja ist es achsensymmetrisch.
  2. Punktsymmetrie
    1. Punktsymmetrie liegt vor, wenn -f(x)=f(-x)
    2. Also nehmt einmal die ganze Funktion mal -1 und einmal nur -x für x einsetzen, wenn beide Male dasselbe rauskommt, ist es punktsymmetrisch zum Ursprung
    3. Achtung! Ist aber eine punktsymmetrische Funktion verschoben, müsst ihr aufpassen, dann müsst ihr nur die reine Funktion ohne Verschiebungen so überprüfen (also lasst z.B. die Verschiebung in y-Richtung weg)! Die Verschiebungen sind dann der Symmetriepunkt (also ist es eine punktsymmetrische Funktion, aber z.B. 3 nach oben und eins nach links Verschoben, dann ist der Symmetriepunkt (1|3)).

Extremstellen/werte und Hoch/Tiefpunkte berechnen

HIER geht´s zur ausführlichen Erklärung

Extremstellen sind dort zu finden, wo die 1. Ableitung = 0 ist. Also f´(x)=0. Also ist das Vorgehen:

  1. Ableitung bestimmen
  2. Ableitung 0 setzen, also Nullstellen der Ableitung bestimmen -> das sind dann eure Extremstellen

Jetzt müsst ihr meist auch noch bestimmen, ob dies ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, um dies zu bestimmen macht ihr folgendes:

  1. Leitet die Ableitung von oben noch mal ab (einfach ableiten wie immer), das nennt man 2. Ableitung und schreibt man f´´(x)
  2. Setzt in die 2. Ableitung das x eurer Extremstelle ein (also aus dem 2. von oben)
  3. Ist der Wert, den ihr erhaltet, positiv ist es ein Tiefpunkt und ist der Wert negativ, ist es ein Hochpunkt
  4. Wollt ihr dann noch die y-Koordinate des Hoch/Tiefpunktes berechnen, setzt einfach die x-Koordinate (aus Punkt 2. von oben) des Extrempunktes in die ursprüngliche Funktion ein, das ist dann eure y-Koordinate


Monotonieverhalten

HIER geht´s zur ausführlichen Erklärung

Sollt ihr das Monotonieverhalten bestimmen, geht es darum, wo die Funktion steigt und fällt, dann geht ihr so vor:

  1. Berechnet die 1. Ableitung
  2. Bestimmt die Nullstellen der Ableitung, das sind eure Extremstellen (das sind die Grenzen, in der die Monotonie verläuft, also nach einer Extremstelle ändert sich die Monotonie)
  3. Überlegt euch, ob die Funktion vor der Extremstelle fällt oder steigt, dies könnt ihr mit einer Skizze machen oder ihr bestimmt die 2. Ableitung, setzt die Nullstelle der 1. Ableitung ein, ist das Ergebnis positiv, ist es ein Tiefpunkt und umgekehrt ein Hochpunkt.
  4. Ist es ein Hochpunkt, ist die Funktion davor streng monoton steigend und danach streng monoton fallend, beim Tiefpunkt umgekehrt.

Krümmungsverhalten

HIER die ausführliche Erklärung.

Es gibt folgende Krümmungen:

  • rechts gekrümmt / konkav / im Uhrzeigersinn gekrümmt
    • dies ist der Fall, wenn die 2. Ableitung f´´(x)<0
  • links gekrümmt / konvex / gegen Uhrzeigersinn gekrümmt
    • dies ist der Fall, wenn die 2. Ableitung f´´(x)>0

Vorgehen beim Bestimmen von Krümmungsverhalten:

  1. Ableitung bestimmen und dann diese noch mal ableiten (also die 2. Ableitung bestimmen)
  2. bestimmen, ob die Ableitung positiv oder negativ ist
  3. sollte es mal positiv und mal negativ sein -> die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen
  4. An den Nullstellen ändert sich das Krümmungsverhalten.

Wendepunkte/stellen

HIER die ganze Erklärung.

Um Wendepunkte/stellen zu bestimmen, geht ihr so vor:

  1. Ableitung bestimmen und dann diese noch mal ableiten (also die 2. Ableitung bestimmen)
  2. die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen, das sind die Wendepunkte
  3. Um zu bestimmen, ob es ein Rechts-Links-Wendepunkt ist oder ein Links-Rechts Wendepunkt, bestimmt ihr die 3. Ableitung, also noch mal die 2. Ableitung ableiten
  4. Setzt den Wert für ein den ihr für die Wendepunkte bekommen habt in die 3. Ableitung ein, ist das Ergebnis:
    1. f´´´(x)>0 rechtslinks gekrümmt
    2. f´´´(x)<0 linksrechts gekrümmt
    3. f´´´(x)=0 es liegt KEIN Wendepunkt vor
  5. Setzt nun nur noch die x-Koordinate für Wendepunkte in die ursprüngliche Funktion ein um die y-Koordinate zu bestimmen und ihr seid fertig.

Asymptoten

Häufig müsst ihr auch Asymptoten bestimmen. Wie ihr sie richtig berechnet, findet ihr HIER.

Eine Übersicht zu allen Asymptoten und wann sie vorkommen ist hier:

Art der Asymptote: Wann sie vorkommt:
senkrechte Asymptote Eine senkrechte Asymptote liegt an der Stelle vor, an der der Nenner null ist.
schiefe Asymptote Wenn Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad.
waagerechte Asymptote Wenn der Zählergrad gleich oder kleiner ist als der Nennergrad
asymptotische Kurve Wenn der Zählergrad um mehr als 1 größer ist als der Nennergrad (also wenn Zählergrad>Nennergrad+1)


Terrassenpunkt/Sattelpunkt

Der Terrassenpunkt/Sattelpunkt ist nichts anderes, als ein Wendepunkt, nur dass die Tangente durch diesen Punkt die Steigung 0 hat. Um diesen Punkt zu bestimmen, geht ihr folgendermaßen vor:

  1. Wendepunkt bestimmen (siehe oben)
  2. Wenn folgende Bedingungen für diesen Punkt gelten, ist es ein Sattelpunkt (setzt die x-Koordinate vom Wendepunkt ein):
    1. f´(x)=0
    2. f´´(0)=0
    3. f´´´(x)≠0

Mathe Blog


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