Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion ist ähnlich der Potenzfunktion, nur dass das x im Exponenten steht, also sieht die Funktion wie folgt aus (mit Vorfaktor b gibt es weiter unten die Erklärung):
f(x)=ax
Wobei a jede positive Zahl außer 0 und 1 sein kann, da sonst die Funktion konstant wäre (also bei a=0 für jedes x immer 0 und für a=1 immer 1).
- ist a zwischen 0 und 1 ist es eine so genannte exponentielle Abnahme, d.h. der Graph fällt ganz schnell und geht gegen 0, nähert sich also der x-Achse immer weiter an, berührt diese aber nie!
- ist a größer als 1, ist es ein so genanntes exponentielles Wachstum, also der Graph steigt schnell an.
Beispiele
y=2x
y=0,5x
Eigenschaften von Exponentialfunktionen
Ist eine Exponentialfunktion in der allgemeinen Form gegeben und nicht verschoben, also in der Form y=ax, ohne Vorfaktor b (unten gibt es dasselbe mit), dann hat sie folgende Eigenschaften:
- sie hat keine Nullstellen
- die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote
- sie hat einen Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0|1)
Definitions- und Wertemenge
Mehr zu dem Thema findet ihr HIER. (in der Form y=ax)
- Definitionsmege ist D=ℝ
- Wertemenge ist W=ℝ+
Monotonie
Mehr zu dem Thema findet ihr HIER. (in der Form y=ax)
- Ist a<1, dann ist die Funktion streng monoton fallend.
- Ist a>1, dann ist die Funktion streng monoton steigend.
Grenzwerte
Mehr zu dem Thema findet ihr HIER. (in der Form y=ax)
- Ist a<1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich + Unendlich und für x gegen + Unendlich 0.
- Ist a>1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich 0 und für x gegen + Unendlich +Unendlich.
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die sogenannte Logarithmusfunktion. Diese findet ihr HIER.
Exponentialfunktion mit Vorfaktor b
Hat die Exponentialfunktion einen Vorfaktor b, muss man bei den Eigenschaften genauer hinschauen, da sich manche Werte verändern können. Die Exponentialfunktion sieht dann so aus:
f(x)=b·ax
Dabei kann das b jede beliebige Zahl sein. Dabei gilt:
- je größer b, desto steiler steigt/fällt die Funktion
- je kleiner b, desto flacher ist der Graph
Ist b positiv:
- ist a zwischen 0 und 1 ist es eine exponentielle Abnahme
- ist a>1 ist es ein exponentielles Wachstum.
Ist b negativ:
- ist a zwischen 0 und 1 ist es eine exponentielle Zunahme
- ist a>1 ist es ein exponentielle Abnahme.
b positiv und a>1
b negativ und a>1
b positiv und a<1
b negativ und a<1
Eigenschaften mit Vorfaktor b
Definitions- und Wertemenge
Mehr zu dem Thema findet ihr HIER.
Mit positivem Vorfaktor b
- Definitionsmege ist D=ℝ
- Wertemenge ist W=ℝ+
Mit negativem Vorfaktor b
- Definitionsmege ist D=ℝ
- Wertemenge ist W=ℝ-
Grenzwerte
Mehr zu dem Thema findet ihr HIER.
Mit positivem Vorfaktor b
- Ist a<1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich - Unendlich und für x gegen + Unendlich 0.
- Ist a>1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich 0 und für x gegen + Unendlich -Unendlich.
Mit negativem Vorfaktor b
- Ist a<1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich - Unendlich und für x gegen + Unendlich 0.
- Ist a>1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich 0 und für x gegen + Unendlich - Unendlich.
Monotonie
Mehr zu dem Thema findet ihr HIER.
Für positive b
- Ist a<1, dann ist die Funktion streng monoton fallend.
- Ist a>1, dann ist die Funktion streng monoton steigend.
Für negative b
- Ist a<1, dann ist die Funktion streng monoton steigend.
- Ist a>1, dann ist die Funktion streng monoton fallend.
Passendes im Shop
Blog
Warum ist die Ausbreitung von Corona so gefährlich?
Der neue Coronavirus verbreitet sich exponentiell. Nur was bedeutet das? Das versuchen wir hier zu veranschaulichen, auch wieso das so gefährlich ist.
