Exponentialfunktion mit Formel und Eigenschaften

Die Exponentialfunktion ist ähnlich der Potenzfunktion, nur dass das x im Exponenten steht, also sieht die Funktion wie folgt aus (mit Vorfaktor b gibt es weiter unten die Erklärung):

f(x)=a^x

Wobei a jede positive Zahl außer 0 und 1 sein kann, da sonst die Funktion konstant wäre (also bei a=0 für jedes x immer 0 und für a=1 immer 1).

ist a zwischen 0 und 1 ist es eine so genannte exponentielle Abnahme, d.h. der Graph fällt ganz schnell und geht gegen 0, nähert sich also der x-Achse immer weiter an, berührt diese aber nie!
ist a größer als 1, ist es ein so genanntes exponentielles Wachstum, also der Graph steigt schnell an.

Graphen zweier Exponentialfunktionen. Einmal mit Basis größer eins und einmal mit kleiner eins.

Beispiele einer Exponentialfunktion

y=2^x

y=0,5^x

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Ist eine Exponentialfunktion in der allgemeinen Form gegeben und nicht verschoben, also in der Form y=a^x, ohne Vorfaktor b (unten gibt es dasselbe mit), dann hat sie folgende Eigenschaften:

sie hat keine Nullstellen
die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote
sie hat einen Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0|1)

Definitions- und Wertemenge

Mehr zu dem Thema findet ihr im Artikel zur Definitions- und Wertemenge. (in der Form y=a^x)

Definitionsmege ist D=ℝ
Wertemenge ist W=ℝ⁺

Monotonie

Mehr zu dem Thema findet ihr im Artikel zur Monotonie. (in der Form y=a^x)

Ist a<1, dann ist die Funktion streng monoton fallend.
Ist a>1, dann ist die Funktion streng monoton steigend.

Grenzwerte

Mehr zu dem Thema findet ihr im Artikel zu den Grenzwerten. (in der Form y=a^x)

Ist a<1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich + Unendlich und für x gegen + Unendlich 0.
Ist a>1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich 0 und für x gegen + Unendlich +Unendlich.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die sogenannte Logarithmusfunktion. Weitere Informationen findet ihr im Artikel zu Logarithmusfunktionen.

Exponentialfunktion mit Vorfaktor b

Hat die Exponentialfunktion einen Vorfaktor b, muss man bei den Eigenschaften genauer hinschauen, da sich manche Werte verändern können. Die Exponentialfunktion sieht dann so aus:

f(x)=b·a^x

Dabei kann das b jede beliebige Zahl sein. Dabei gilt:

je größer b, desto steiler steigt/fällt die Funktion
je kleiner b, desto flacher ist der Graph

Ist b positiv:

ist a zwischen 0 und 1 ist es eine exponentielle Abnahme
ist a>1 ist es ein exponentielles Wachstum.

Ist b negativ:

ist a zwischen 0 und 1 ist es eine exponentielle Zunahme
ist a>1 ist es ein exponentielle Abnahme.

b positiv und a>1

Beispiel einer Exponentialfunktion mit positivem Vorfaktor und einer Basis größer 1.

b negativ und a>1

Beispiel einer Exponentialfunktion mit negativem Vorfaktor und einer Basis größer 1.

b positiv und a<1

Beispiel einer Exponentialfunktion mit positivem Vorfaktor und einer Basis kleiner 1.

b negativ und a<1

Beispiel einer Exponentialfunktion mit negativem Vorfaktor und einer Basis kleiner 1.

Eigenschaften mit Vorfaktor b

Definitions- und Wertemenge mit Vorfaktor

Mehr zu dem Thema findet ihr im Artikel zur Definitions- und Wertemenge.

Mit positivem Vorfaktor b

Definitionsmege ist D=ℝ
Wertemenge ist W=ℝ⁺

Mit negativem Vorfaktor b

Definitionsmege ist D=ℝ
Wertemenge ist W=ℝ^-

Grenzwerte mit Vorfaktor

Mehr zu dem Thema findet ihr im Artikel zu den Grenzwerten.

Mit positivem Vorfaktor b

Ist a<1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich - Unendlich und für x gegen + Unendlich 0.
Ist a>1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich 0 und für x gegen + Unendlich -Unendlich.

Mit negativem Vorfaktor b

Ist a<1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich - Unendlich und für x gegen + Unendlich 0.
Ist a>1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich 0 und für x gegen + Unendlich - Unendlich.