Exponentialfunktion mit Formel und Eigenschaften
Die Exponentialfunktion ist ähnlich der Potenzfunktion, nur dass das x im Exponenten steht, also sieht die Funktion wie folgt aus (mit Vorfaktor b gibt es weiter unten die Erklärung):
f(x)=ax
Wobei a jede positive Zahl außer 0 und 1 sein kann, da sonst die Funktion konstant wäre (also bei a=0 für jedes x immer 0 und für a=1 immer 1).
- ist a zwischen 0 und 1 ist es eine so genannte exponentielle Abnahme, d.h. der Graph fällt ganz schnell und geht gegen 0, nähert sich also der x-Achse immer weiter an, berührt diese aber nie!
- ist a größer als 1, ist es ein so genanntes exponentielles Wachstum, also der Graph steigt schnell an.
Beispiele einer Exponentialfunktion
y=2x
y=0,5x
Eigenschaften von Exponentialfunktionen
Ist eine Exponentialfunktion in der allgemeinen Form gegeben und nicht verschoben, also in der Form y=ax, ohne Vorfaktor b (unten gibt es dasselbe mit), dann hat sie folgende Eigenschaften:
- sie hat keine Nullstellen
- die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote
- sie hat einen Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0|1)
Definitions- und Wertemenge
Mehr zu dem Thema findet ihr im Artikel zur Definitions- und Wertemenge. (in der Form y=ax)
- Definitionsmege ist D=ℝ
- Wertemenge ist W=ℝ+
Monotonie
Mehr zu dem Thema findet ihr im Artikel zur Monotonie. (in der Form y=ax)
- Ist a<1, dann ist die Funktion streng monoton fallend.
- Ist a>1, dann ist die Funktion streng monoton steigend.
Grenzwerte
Mehr zu dem Thema findet ihr im Artikel zu den Grenzwerten. (in der Form y=ax)
- Ist a<1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich + Unendlich und für x gegen + Unendlich 0.
- Ist a>1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich 0 und für x gegen + Unendlich +Unendlich.
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die sogenannte Logarithmusfunktion. Weitere Informationen findet ihr im Artikel zu Logarithmusfunktionen.
Exponentialfunktion mit Vorfaktor b
Hat die Exponentialfunktion einen Vorfaktor b, muss man bei den Eigenschaften genauer hinschauen, da sich manche Werte verändern können. Die Exponentialfunktion sieht dann so aus:
f(x)=b·ax
Dabei kann das b jede beliebige Zahl sein. Dabei gilt:
- je größer b, desto steiler steigt/fällt die Funktion
- je kleiner b, desto flacher ist der Graph
Ist b positiv:
- ist a zwischen 0 und 1 ist es eine exponentielle Abnahme
- ist a>1 ist es ein exponentielles Wachstum.
Ist b negativ:
- ist a zwischen 0 und 1 ist es eine exponentielle Zunahme
- ist a>1 ist es ein exponentielle Abnahme.
b positiv und a>1
b negativ und a>1
b positiv und a<1
b negativ und a<1
Eigenschaften mit Vorfaktor b
Definitions- und Wertemenge mit Vorfaktor
Mehr zu dem Thema findet ihr im Artikel zur Definitions- und Wertemenge.
Mit positivem Vorfaktor b
- Definitionsmege ist D=ℝ
- Wertemenge ist W=ℝ+
Mit negativem Vorfaktor b
- Definitionsmege ist D=ℝ
- Wertemenge ist W=ℝ-
Grenzwerte mit Vorfaktor
Mehr zu dem Thema findet ihr im Artikel zu den Grenzwerten.
Mit positivem Vorfaktor b
- Ist a<1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich - Unendlich und für x gegen + Unendlich 0.
- Ist a>1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich 0 und für x gegen + Unendlich -Unendlich.
Mit negativem Vorfaktor b
- Ist a<1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich - Unendlich und für x gegen + Unendlich 0.
- Ist a>1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich 0 und für x gegen + Unendlich - Unendlich.
Monotonie mit Vorfaktor
Mehr zu dem Thema findet ihr im Artikel zur Monotonie.
Für positive b
- Ist a<1, dann ist die Funktion streng monoton fallend.
- Ist a>1, dann ist die Funktion streng monoton steigend.
Für negative b
- Ist a<1, dann ist die Funktion streng monoton steigend.
- Ist a>1, dann ist die Funktion streng monoton fallend.
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