Exponentialfunktion Eigenschaften

Die Exponentialfunktion ist ähnlich der Potenzfunktion, nur dass das x im Exponenten steht, also sieht die Funktion wie folgt aus (mit Vorfaktor b gibt es weiter unten die Erklärung):

 

f(x)=ax

 

Wobei a jede positive Zahl außer 0 und 1 sein kann, da sonst die Funktion konstant wäre (also bei a=0 für jedes x immer 0 und für a=1 immer 1).

  • ist a zwischen 0 und 1 ist es eine so genannte exponentielle Abnahme, d.h. der Graph fällt ganz schnell und geht gegen 0, nähert sich also der x-Achse immer weiter an, berührt diese aber nie!
  • ist a größer als 1, ist es ein so genanntes exponentielles Wachstum, also der Graph steigt schnell an.
Graphen zweier Exponentialfunktionen. Einmal mit Basis größer eins und einmal mit kleiner eins.

Beispiele

y=2x

y=0,5x


Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Ist eine Exponentialfunktion in der allgemeinen Form gegeben und nicht verschoben, also in der Form y=ax, ohne Vorfaktor b (unten gibt es dasselbe mit), dann hat sie folgende Eigenschaften:

  • sie hat keine Nullstellen
  • die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote
  • sie hat einen Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0|1)

Definitions- und Wertemenge

Mehr zu dem Thema findet ihr HIER. (in der Form y=ax)

  • Definitionsmege ist D=ℝ
  • Wertemenge ist W=ℝ+

Monotonie

Mehr zu dem Thema findet ihr HIER. (in der Form y=ax)

  • Ist a<1, dann ist die Funktion streng monoton fallend.
  • Ist a>1, dann ist die Funktion streng monoton steigend.

Grenzwerte

Mehr zu dem Thema findet ihr HIER. (in der Form y=ax)

  • Ist a<1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich + Unendlich und für x gegen + Unendlich 0.
  • Ist a>1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich 0 und für x gegen + Unendlich +Unendlich.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die sogenannte Logarithmusfunktion. Diese findet ihr HIER.

Exponentialfunktion mit Vorfaktor b

Hat die Exponentialfunktion einen Vorfaktor b, muss man bei den Eigenschaften genauer hinschauen, da sich manche Werte verändern können. Die Exponentialfunktion sieht dann so aus:

 

f(x)=b·ax

 

Dabei kann das b jede beliebige Zahl sein. Dabei gilt:

  • je größer b, desto steiler steigt/fällt die Funktion
  • je kleiner b, desto flacher ist der Graph

Ist b positiv:

  • ist a zwischen 0 und 1 ist es eine exponentielle Abnahme
  • ist a>1 ist es ein exponentielles Wachstum.

Ist b negativ:

  • ist a zwischen 0 und 1 ist es eine exponentielle Zunahme
  • ist a>1 ist es ein exponentielle Abnahme.

b positiv und a>1

Beispiel einer Exponentialfunktion mit positivem Vorfaktor und einer Basis größer 1.

b negativ und a>1

Beispiel einer Exponentialfunktion mit negativem Vorfaktor und einer Basis größer 1.

b positiv und a<1

Beispiel einer Exponentialfunktion mit positivem Vorfaktor und einer Basis kleiner 1.

b negativ und a<1

Beispiel einer Exponentialfunktion mit negativem Vorfaktor und einer Basis kleiner 1.

Eigenschaften mit Vorfaktor b

Definitions- und Wertemenge

Mehr zu dem Thema findet ihr HIER

Mit positivem Vorfaktor b

  • Definitionsmege ist D=ℝ
  • Wertemenge ist W=ℝ+

Mit negativem Vorfaktor b

  • Definitionsmege ist D=ℝ
  • Wertemenge ist W=ℝ-

Grenzwerte

Mehr zu dem Thema findet ihr HIER.

Mit positivem Vorfaktor b

  • Ist a<1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich - Unendlich und für x gegen + Unendlich 0.
  • Ist a>1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich 0 und für x gegen + Unendlich -Unendlich.

Mit negativem Vorfaktor b

  • Ist a<1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich - Unendlich und für x gegen + Unendlich 0.
  • Ist a>1, dann ist der Grenzwert für x gegen - Unendlich 0 und für x gegen + Unendlich - Unendlich.

Monotonie

Mehr zu dem Thema findet ihr HIER.

Für positive b

  • Ist a<1, dann ist die Funktion streng monoton fallend.
  • Ist a>1, dann ist die Funktion streng monoton steigend.

Für negative b

  • Ist a<1, dann ist die Funktion streng monoton steigend.
  • Ist a>1, dann ist die Funktion streng monoton fallend.

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