Alternierende Multilineare Abbildungen

Eine multilineare Abbildung f : V ×···×V → W heißt alternierend, wenn sie folgende Eigenschaft hat:

Sind v1,...,vn gegeben und gibt es ein Paar (i, j) mit i , j und vi = vj, so ist f(v1,...,vn) = 0. Das bedeutet schlichtweg, dass wenn 2 Elemente gleich sind ist die multilineare Abbildung 0. Dann nennt man die Abbildung Alternierend

Ist f eine alternierende multilineare Abbildung, so ist für alle i , j f(...,vi,...,vj,...) = −f(...,vj,...,vi,...).

Beweis: Es ist

0 = f(...,vi+vj,...,vi+vj,...)

= f(...,vi,...,vi+vj,...) + f(...,vj,...,vi+vj,...)

= f(...,vi,...,vi,...) + f(...,vi,...,vj,...) + f(...,vj,...,vi,...) + f(...,vj,...,vj,...)

= 0 + f(...,vi,...,vj,...) + f(...,vj,...,vi,...) + 0

und daraus folgt sofort die Behauptung.

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