Multilineare Abbildungen

 

Definition: Seien V1, ..., Vn und W Vektorräume über dem Körper K. Eine Abbildung f : V1 ×···×Vn → W heißt multilinear, wenn f linear ist in jedem Argument, wenn also für alle i = 1,...,n und für j , i fest gewählte vj ∈Vj die Abbildung

Vi →W, v ↦ f(v1,...,vi−1,v, vi+1,...vn)

linear ist.

 

Also die Abbildung ist in jedem Argument linear, das bedeutet eine Abbildung lässt sich dann immer auch so schreiben:

 

$\displaystyle f(\ldots, x \cdot a_i + y \cdot b_i, \ldots) = x \cdot f(\ldots,a_i,\ldots) + y \cdot f(\ldots, b_i, \ldots)$

Es ist also genauso wie ihr bereits Linearität überprüft habt, nur dass es nun etwas komplizierter aussieht, aber es ist eigentlich das selbe. Es muss also in jedem Argument (jedem Element das darin vorkommt) Linear sein. Also, wenn wie oben da steht ein Element + das andere, kann man so zu sagen das Plus "nach außen ziehen" und in den Klammern jeweils nur eins der beiden Elementen lassen. Und auch mit Skalaren ist genauso zu handhaben wie ihr es sonst auch von der liniarität kennt. Eigentlich wäre ja das x noch vor dem a und das y vor dem b, aber wenn es linear ist kann man es ja vor ziehen wie oben. Wenn man das dann mit jedem Element so machen kann heißt die Abbildung Multilinear. Multi heißt ja "mehrfach", also einfach mehrfach linear weil es in jedem Element so ist.

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