Umkehrfunktion

Erklärung: Eine Umkehrfunktion ist die Umkehrung einer Funktion. Es geht also einfach ausgedrückt darum herauszufinden, welches x man einsetzen musste, um ein bestimmtes y zu erhalten. Also der umgekehrte Weg einer Funktion und daher Umkehrfunktion. Meist nennt man die Umkehrfunktion dann f-1.

Hier seht ihr die Funktion f(x)=x3, welche grün eingezeichnet ist und ihre Umkehrfunktion f-1(x)=x1/3, welche lila eingezeichnet ist. Wie ihr vielleicht seht, entspricht die Umkehrfunktion einer Spiegelung an einer Achse, welche 45° zur x-Achse steht, bzw. die Gleichung y=x hat.

 


Umkehrfunktion bestimmen

  1. Zunächst löst man die Funktion nach x auf, also die Funktion so umformen, dass da steht: x=....
  2. Danach vertauscht man nur noch das x und das y miteinander und fertig, man hat die Umkehrfunktion.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion:

  • formt erst nach x um:
  • Danach vertauscht ihr nur noch x und y und ihr habt die Umkehrfunktion:

Übungsaufgaben (mit Lösungen)

Hier sind par Aufgaben mit Lösungen, die könnt ihr euch angucken oder als Übung lösen. Klickt auf Einblenden, um die Lösung zu sehen:

Was ist die Umkehrfunktion von f(x)=x+2? Einblenden
Was ist die Umkehrfunktion von f(x)=x3+8? Einblenden

Definitions- und Wertemenge

Die Umkehrfunktion vertauscht auch die Definitions- und Wertemenge einer Funktion. Das bedeutet, dass die Definitionsmenge der ursprünglichen Funktion, die Wertemenge der Umkehrfrunktion ist und die Wertemenge der ursprünglichen Funktion, die Definitionsmege der Umkehrfunktion.

Wann gibt es eine Umkehrfunktion?

Eine Funktion hat nur eine Umkehrfrunktion, wenn jeder y-Wert höchstens 1 mal "getroffen wird", also wenn genau ein y-Wert für einen x-Wert rauskommt. Zum Beispiel kommen bei der Funktion y=x2 für x=-2 und x=2 der selbe y-Wert raus und daher hat sie keine Umkehrfunktion. Denn wie darüber beschrieben vertauschen sich ja Wertemenge und Definitionsmenge bei der Umkehrfunktion, dann hätte die Definitionsmenge weniger Elemente als die Wertemenge, was nicht geht, da eine Funktion immer mehr Elemente in der Definitionsmenge haben muss, als in der Wertemenge (ist so definiert, da jedem Element x genau ein Element y zugeordnet wird).

Man kann aber das Problem umgehen, indem man die Definitionsmenge so definiert, dass die Funktion trotzdem eine Umkehrfunktion hat, dazu wählt ihr die Definitionsmenge so, dass jeder y-Wert höchstens einmal getroffen wird. Bei der Funktion y=x2 wäre es möglich die Definitionsmenge nur mit positiven Zahlen anzugeben, dann hätte sie eine Umkehrfunktion, nämlich die Wurzelfunkion.

 

Zusammengefasst hat eine Funktion KEINE Umkehrfrunktion, wenn...:

  • ...entweder die Definitionsmenge mehr Elemente hat als die Wertemenge...
  • ...oder wenn für zwei verschiedene x derselbe y-Wert raus kommt....
  • ...oder wenn die Funktion mehr als eine Nullstelle hat.

Umkehrfunktions Rechner

Hier könnt ihr euch die Umkehfrunktion berechnen lassen (Inverse Funktion bedeutet Umkehrfunktion) (falls nicht angezeigt liegt es an Adblock):

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