Reelle Funktionen und Stetigkeit

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit reellwertigen Funktionen. Eine erste naive Vorstellung einer solchen Funktion ist etwa die folgende: Eine reelle Funktion f von einer Menge M ⊂ ℝ nach ℝ (Schreibweise: f : M → ℝ ), ist eine Vorschrift, die jedem x ∈ M genau ein Element f(x) in ℝ zuordnet. Die Abbildung von x nach f(x) wird auch mit x ↦ f(x) bezeichnet. Die Menge M bezeichnet den Definitionsbereich von f. Das Bild von f ist definiert als f[M] := {f(x)|x ∈ M}. Ist L ( M, dann bezeichnet f|L : L → ℝ, x↦ f(x) für alle x ∈ L, die Restriktion von f auf L. Es ist also nicht anders wie ihr das schon in der Schule gelernt habt. Eine einfache Funktion also.

 

 

Eine Funktion heißt stetig wenn:

 

Sei f : M →ℝ. f heißt stetig in x0∈M, falls es für jedes ε > 0 ein δ(ε) > 0 gibt, so dass |f(x)−f(x0)| < ε für alle x ∈ M mit |x−x0| < δ(ε).

 

 

Beispiele:

 

Konstante Funktionen sind stetig. Sei ε > 0 beliebig. Für jedes δ > 0 und jedes x0∈ℝ gilt: 0 = |f(x)−f(x0)| < ε für alle x mit|x−x0| < δ, d.h. Stetigkeit in x0 für beliebige x0∈ℝ.

 

 

Sei M⊂ℝ und f : M →ℝ. f ist genau dann stetig in x0∈ M, falls eine der beiden folgenden äquivalenten Aussagen gilt:

 

  • Zu jeder Umgebung V von f(x0) gibt es eine Umgebung U von x0, so dass f(x) ∈ V für alle x∈ U ∩M.
  • Für jede Folge (xn)n∈N in M mit limn→∞xn = x0 gilt: limn→∞f(xn) existiert und ist gleich f(x0).

 

Schritt für Schritt Anleitung zum Beweis von Stetigkeit

  1. Schritt ”f stetig in x0 ⇒ 1. Punkt oben” Sei V Umgebung von f(x0). Dann gibt es in ε > 0, sodass die ε-Umgebung Uε(f(x0)) in V liegt. Da f stetig in x0 ist, gibt es eine Umgebung Uδ(x0), so dass f(x−f(x0)| < ε für alle x∈Uδ(x0)∩M. D.h., f(x) ∈ Uε(f(x0)) ⊂ V für alle x ∈ Uδ(x0). Setze U := Uδ(x0).
  2. Schritt ”1. Punkt oben ⇒ 2. Punkt oben” Sei (xn)n∈N Folge in M mit Grenzwert x0 ∈ M. Es genügt zu zeigen, dass für jedes ε > 0 fast alle Folgenglieder von (f(xn))n∈N in Uε(f(x0)) liegen. Setze V := Uε(f(x0)). Wegen dem oberen ersten Punkt gibt es insbesondere Uδ(x0), so dass f(x)∈ V für alle x∈ Uδ(x0). Mit limn→∞xn = x0 liegen fast alle Folgenglieder in Uδ(x0) und somit liegen fast alle Folgenglieder von (f(xn))n∈N in Uε(f(x0)).
  3. Schritt ”2. Punkt oben ⇒ f ist stetig in x0” Wäre f nicht stetig in x0, so gäbe es ε > 0, so dass für alle δ > 0 ein x mit |x−x0| < δ existiert, so dass |f(x)−f(x0)|≥ ε gilt. Folglich gäbe es Folgen (xn)n∈N mit limn→∞xn = x0, aber |f(xn)−f(x0)|≥ ε für alle n ∈ ℕ. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme.

 

Sätze zur Stetigkeit

  • Es seien f,g : M → ℝ stetig in x0∈ M. Dann sind auch f ·g : M → ℝ und f + g : M →ℝ stetig in x0∈M.
  • Polynome sind stetig in allen Punkten.
  • Sei f : M →ℝ, M⊂ℝ, stetig in allen Punkten des Definitionsbereichs. Dann heißt f stetig auf M bzw. stetige Funktion von M nach ℝ.

  • Seien f : M →ℝ und g : L →ℝ stetig, und das Bild von M unter f sei in L enthalten. Dann ist g◦f : x↦(f(x)) stetig

Empfohlenes Video zur Stetigkeit

Blog


Abistreich Ideen

Wenn ihr jetzt euer Abi schreibt, bedeutet es, dass die Zeit auf der Schule für euch bald vorbei ist. Jedoch könnt ihr euch noch ordentlich von der Schule verabschieden, nämlich mit dem Abistreich! Dazu findet ihr hier einige Ideen und Infos, auf was ihr achten müsst, damit es ein gelungener Abschluss wird.

mehr lesen 0 Kommentare