Polynome in der Algebra

Definition: Ein Polynom mit Koeffizienten in M (M sei ein kommutativer Ring) ist eine Abbildung a: ℕ→M, n ↦ a_n, die an nur endlich vielen Stellen ≠0 ist, für die also ein N ∈ ℕ existiert mit a_m= 0 für alle m ≥ N (also es gibt einfach nicht unendlich viele, irgendwann sind alle Faktoren nur noch Null, wodurch das wegfällt und das Polynom endlich viele Glieder hat). Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in M bezeichnet man durch M[X].
Die übliche Schreibweise sieht so aus (Wie ihr es bereits aus der Schule als Polynome kennt):

a₀ + a₁X +···+ a_nXⁿ

und dabei lässt man alle Ausdrücke a_iXⁱ mit a_i = 0 weg. So sind beispielsweise 2+4X³ oder 5+17X+6X¹⁵ Polynome mit Koeffizienten in ℚ. Ein Polynom a heißt konstant, wenn a_i = 0 für alle i ≠ 0 ist.

Einfach: Es sind also endlich viele (also einfach nicht unendlich viele) Koeffizienten a_i aus M, die vor den Variablen X stehen. Der Höchste Exponent n gibt dann den Grad des Polynoms an. (Alles wie ihr es aus der Schule kennt, nur mit einer zusätzlich komplizierten Definition, die aber alles aussagt, was ihr eh schon aus der Schule kennt)

Seien a: ℕ →R und b: ℕ →R Polynome. Die Summe von a und b ist das Polynom a + b: ℕ→R mit:

(a + b)_n := a_n + b_n

für alle n∈ℕ. Das Produkt von a und b ist das Polynom ab: ℕ→R mit

(ab)_n = a₀b_n + a₁b_n−1 +···+ a_n−1b₁ + a_nb₀.

Diese etwas merkwürdige Definition liefert tatsächlich die Definitionen von Summe und Produkt von Polynomen. So ist beispielsweise für die Summe:

(3 + 15X² + 5X³) + (X + 17X²) = 3 + X + 32X² + 5X³

und für das Produkt:

(3 + 2X + X²)(1 + 2X + 7X²) = (3·1) + (3·2 + 2·1)X + (3·7 + 2·2 + 1·1)X²+ + (2·7 + 1·2)X³ + (1·7)X⁴

= 3 + 8X + 26X² + 16X³ + 7X⁴.