Polynome

Definition: Ein Polynom mit Koeffizienten in M (M sei ein kommutativer Ring) ist eine Abbildung a: ℕ→M, n ↦ an, die an nur endlich vielen Stellen ≠0 ist, für die also ein N ∈ ℕ existiert mit am= 0 für alle m ≥ N (also es gibt einfach nicht unendlich viele, irgendwann sind alle Faktoren nur noch Null, wodurch das wegfällt und das Polynom endlich viele Glieder hat). Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in M bezeichnet man durch M[X].
Die übliche Schreibweise sieht so aus (Wie ihr es bereits aus der Schule als Polynome kennt):

 

a0 + a1X +···+ anXn

 

und dabei lässt man alle Ausdrücke aiXi mit ai = 0 weg. So sind beispielsweise 2+4X3 oder 5+17X+6X15 Polynome mit Koeffizienten in ℚ. Ein Polynom a heißt konstant, wenn ai = 0 für alle i ≠ 0 ist.

 

Einfach: Es sind also endlich viele (also einfach nicht unendlich viele) Koeffizienten ai aus M, die vor den Variablen X stehen. Der Höchste Exponent n gibt dann den Grad des Polynoms an. (Alles wie ihr es aus der Schule kennt, nur mit einer zusätzlich komplizierten Definition, die aber alles aussagt, was ihr eh schon aus der Schule kennt)

Addition und Multiplikation von Polynomen

Seien a: ℕ →R und b: ℕ →R Polynome. Die Summe von a und b ist das Polynom a + b: ℕ→R mit:

 

(a + b)n := an + bn

 

 

für alle n∈ℕ. Das Produkt von a und b ist das Polynom ab: ℕ→R mit

 

 

(ab)n = a0bn + a1bn−1 +···+ an−1b1 + anb0.

 

 

Diese etwas merkwürdige Definition liefert tatsächlich die Definitionen von Summe und Produkt von Polynomen. So ist beispielsweise für die Summe:

 

 

(3 + 15X2 + 5X3) + (X + 17X2) = 3 + X + 32X2 + 5X3

 

und für das Produkt:

 

(3 + 2X + X2)(1 + 2X + 7X2) = (3·1) + (3·2 + 2·1)X + (3·7 + 2·2 + 1·1)X2+ + (2·7 + 1·2)X3 + (1·7)X4

= 3 + 8X + 26X2 + 16X3 + 7X4.

 

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