Lineare Gleichungssysteme


Allgemeine Informationen

Ein lineares Gleichungssystem mit m Unbekannten und n Gleichungen mit Koeffizienten in ℝ ist ein Ausdruck der Form:

 

a11X1 + ... + a1mXm = b1

a21X1 + ... + a2mXm = b2

...

an1X1 + ... + anmXm = bn,

 

wobei aij für i = 1,...,n, j = 1,...,m und bl für l = 1...,n fest vorgegebene Elemente aus R seien. Die Symbole Xi heißen Unbekannte. (kennt ihr ja schon aus der Schule)

Oft lässt man, falls aij = 0 ist, den Ausdruck 0Xi weg, und schreibt statt 1X nur Xi, so dass ein Gleichungssystem also auch beispielsweise die folgende Form haben kann (genauso wie ihr es aus der Schule kennt):

 

2X1 + X2 + 16X3 = 6

 X1  +            7X3 = 7

 

 

Definition: Sei ein lineares Gleichungssystem A mit m Unbekannten und n Gleichungen wie oben gegeben. Eine Lösung des Gleichungsystems ist ein m-Tupel (x1,...,xm) reeller Zahlen (also ein Element in ℝm) mit der Eigenschaft, dass die vorgegebenen Gleichungen erfüllt werden, sobald man, für alle i = 1,...,n, die Zahl xi anstelle von Xi einsetzt.

 

 

Beispiele:

Ihr könnt die Gleichungssysteme lösen, indem ihr es genauso macht, wie ihr es in der Schule auch gelernt habt (Wiederholung findet ihr HIER).

  • Wir betrachten das Gleichungssystem 

     

    2X1 + 5X2 = 3

    3X1 + 7X2 = 5

mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen. Hier gibt es eine, aber auch nur eine Lösung, nämlich (x1,x2) = (4,−1) (zum Lösungsverfahren gehts HIER)

  • Das Gleichungssystem... 

     

    2X1 + 4X2 = 3,

    X1 + 2X2 = 5

...hat gar keine Lösung. (zum Lösungsverfahren gehts HIER)

  • Das Gleichungssystem 

    X1 + 3X2 = 1,

    2X1 + 6X2 = 2

...hat unendlich viele Lösungen: Für jedes X1∈ℝ ist (X1, (1−X1)/3) eine Lösung. (zum Lösungsverfahren gehts HIER)



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Hilfe bei Matheproblemen - die fb Gruppe

Es gibt nun eine Facebook-Gruppe von Studimup, auf welcher ihr Hilfe bei Matheproblemen bekommt. Dies funktioniert so:

  1. Ihr stellt eure Frage als Post in die Gruppe.
  2. Wenn jemand die Antwort weiß, kann er sie in den Kommentaren beantworten. 

Wenn ihr also mal Schwierigkeiten bei einer bestimmten Aufgabe oder einem Thema habt, dann könnt ihr eure Frage in die Gruppe posten. Ebenso könnt ihr anderen Personen bei ihren Problemen helfen und so selbst das Thema üben und vertiefen. Mit der Gruppe soll es möglich sein, möglichst schnell antworten auf ein Problem zu bekommen (z.B. bei einer Hausaufgabe). Je mehr Leute mitmachen, desto besser funktioniert dieses System. 

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