Lineare Gleichungssysteme



Allgemeine Informationen

Ein lineares Gleichungssystem mit m Unbekannten und n Gleichungen mit Koeffizienten in ℝ ist ein Ausdruck der Form:

 

a11X1 + ... + a1mXm = b1

a21X1 + ... + a2mXm = b2

...

an1X1 + ... + anmXm = bn,

 

wobei aij für i = 1,...,n, j = 1,...,m und bl für l = 1...,n fest vorgegebene Elemente aus R seien. Die Symbole Xi heißen Unbekannte. (kennt ihr ja schon aus der Schule)

Oft lässt man, falls aij = 0 ist, den Ausdruck 0Xi weg, und schreibt statt 1X nur Xi, so dass ein Gleichungssystem also auch beispielsweise die folgende Form haben kann (genauso wie ihr es aus der Schule kennt):

 

2X1 + X2 + 16X3 = 6

 X1  +            7X3 = 7

 

 

Definition: Sei ein lineares Gleichungssystem A mit m Unbekannten und n Gleichungen wie oben gegeben. Eine Lösung des Gleichungsystems ist ein m-Tupel (x1,...,xm) reeller Zahlen (also ein Element in ℝm) mit der Eigenschaft, dass die vorgegebenen Gleichungen erfüllt werden, sobald man, für alle i = 1,...,n, die Zahl xi anstelle von Xi einsetzt.

 

 

Beispiele:

Ihr könnt die Gleichungssysteme lösen, indem ihr es genauso macht, wie ihr es in der Schule auch gelernt habt (Wiederholung findet ihr HIER).

  • Wir betrachten das Gleichungssystem 

     

    2X1 + 5X2 = 3

    3X1 + 7X2 = 5

mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen. Hier gibt es eine, aber auch nur eine Lösung, nämlich (x1,x2) = (4,−1) (zum Lösungsverfahren gehts HIER)

  • Das Gleichungssystem... 

     

    2X1 + 4X2 = 3,

    X1 + 2X2 = 5

...hat gar keine Lösung. (zum Lösungsverfahren gehts HIER)

  • Das Gleichungssystem 

    X1 + 3X2 = 1,

    2X1 + 6X2 = 2

...hat unendlich viele Lösungen: Für jedes X1∈ℝ ist (X1, (1−X1)/3) eine Lösung. (zum Lösungsverfahren gehts HIER)