Integration durch Substitution

Integration durch Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel vom Ableiten. Dabei ersetzt man einen Teil der Funktion, um leichter integrieren zu können. Hier erst mal die allgemeine Form, dabei wird die innere Funktion durch u ersetzt (kann auch ein anderer Buchstabe sein):

 

Substitution richtig durchführen:

Wie das genau geht, erklären wir euch anhand eines Beispiels:

Ihr möchtet folgendes Integrieren:

  • bestimmt die innere Funktion, das ist dann euer u, welches ihr dann für die innere Funktion ersetzt:
  • Leitet u jetzt nach x ab, also sozusagen die innere Funktion ableiten. Das du/dx bedeutet einfach, dass man u nach x ableitet, das braucht ihr für den nächsten Schritt. Leitet genauso ab, wie ihr das immer machen würdet:
  • Formt das nach dx um, damit ihr dann wisst, mit was ihr das dx im Integral, welches ihr berechnen wollt, ersetzen müsst:
  • Ersetzt nun die innere Funktion und das dx in eurem Integral, welches ihr berechnen wollt. Also für die innere Funktion setzt ihr u ein und für das dx das, was ihr dafür im Schritt davor berechnet habt. Berechnet davon das Integral (also genauso aufleiten, wie ihr es mit einem x auch machen würdet, stellt euch einfach vor, dass das u ein x ist):
  • Nun ersetzt ihr das u wieder durch das, wofür ihr u eingesetzt habt, also die innere Funktion, und ihr seid fertig:


Beispiel 2:

Ihr möchtet folgendes integrieren:

  • Bestimmt die innere Funktion, das ist dann euer u, welches ihr dann für die innere Funktion ersetzt:
  • Leitet u jetzt nach x ab, also die innere Funktion ableiten. Das du/dx bedeutet einfach, dass man u nach x ableitet, das braucht ihr für den nächsten Schritt. Leitet genauso ab, wie ihr das auch mit einem x machen würdet, nur das statt einem x ein u da steht:
  • Formt das nach dx um, damit ihr dann wisst, mit was ihr das dx im Integral, welches ihr berechnen wollt, ersetzen müsst:
  • Ersetzt nun die innere Funktion und das dx in eurem Integral, welches ihr berechnen wollt. Also für die innere Funktion setzt ihr u ein und für das dx das, was ihr dafür im Schritt davor berechnet habt. Kürzt das x noch weg und berechnet davon das Integral (also genauso aufleiten, wie ihr es mit einem x auch machen würdet):
  • Nun ersetzt ihr das u wieder durch das, wofür ihr u eingesetzt habt, also die innere Funktion, und ihr seid fertig:

Integralrechner:

Hier könnt ihr euch die Stammfunktion im Rechner berechnen lassen:

Übungsaufgaben

Wenn ihr üben möchtet, findet ihr Aufgaben mit Lösung auch auf unserer Seite. Guckt einfach hier:

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