Integration durch Substitution

Integration durch Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel vom Ableiten. Dabei ersetzt man einen Teil der Funktion, um leichter integrieren zu können. Hier erst mal die allgemeine Form, dabei wird die innere Funktion durch u ersetzt (kann auch ein anderer Buchstabe sein):

 

Substitution richtig durchführen:

Wie das genau geht, erklären wir euch anhand eines Beispiels:

Ihr möchtet folgendes Integrieren:

  • bestimmt die innere Funktion, das ist dann euer u, welches ihr dann für die innere Funktion ersetzt:
  • Leitet u jetzt nach x ab, also sozusagen die innere Funktion ableiten. Das du/dx bedeutet einfach, dass man u nach x ableitet, das braucht ihr für den nächsten Schritt. Leitet genauso ab, wie ihr das immer machen würdet:
  • Formt das nach dx um, damit ihr dann wisst, mit was ihr das dx im Integral, welches ihr berechnen wollt, ersetzen müsst:
  • Ersetzt nun die innere Funktion und das dx in eurem Integral, welches ihr berechnen wollt. Also für die innere Funktion setzt ihr u ein und für das dx das, was ihr dafür im Schritt davor berechnet habt. Berechnet davon das Integral (also genauso aufleiten, wie ihr es mit einem x auch machen würdet, stellt euch einfach vor, dass das u ein x ist):
  • Nun ersetzt ihr das u wieder durch das, wofür ihr u eingesetzt habt, also die innere Funktion, und ihr seid fertig:


Beispiel 2:

Ihr möchtet folgendes integrieren:

  • Bestimmt die innere Funktion, das ist dann euer u, welches ihr dann für die innere Funktion ersetzt:
  • Leitet u jetzt nach x ab, also die innere Funktion ableiten. Das du/dx bedeutet einfach, dass man u nach x ableitet, das braucht ihr für den nächsten Schritt. Leitet genauso ab, wie ihr das auch mit einem x machen würdet, nur das statt einem x ein u da steht:
  • Formt das nach dx um, damit ihr dann wisst, mit was ihr das dx im Integral, welches ihr berechnen wollt, ersetzen müsst:
  • Ersetzt nun die innere Funktion und das dx in eurem Integral, welches ihr berechnen wollt. Also für die innere Funktion setzt ihr u ein und für das dx das, was ihr dafür im Schritt davor berechnet habt. Kürzt das x noch weg und berechnet davon das Integral (also genauso aufleiten, wie ihr es mit einem x auch machen würdet):
  • Nun ersetzt ihr das u wieder durch das, wofür ihr u eingesetzt habt, also die innere Funktion, und ihr seid fertig:

Integralrechner:

Hier könnt ihr euch die Stammfunktion im Rechner berechnen lassen:

Mathe Blog


Studybees – Durchstarten in Abi und Studium

Wer kennt es nicht: Die Klausuren rücken immer näher und trotzdem hat man noch nicht den Durchblick in seinem Fach! Der Lehrer oder Professor redet nur so vor sich hin ohne wirklich weiter zu helfen. Egal wie sehr man sich anstrengt, der Stoff will einfach nicht in den Kopf und man gerät immer mehr unter Stress!

Damit ist jetzt ein für alle Mal Schluss! Das junge Unternehmen Studybees erleichtert die Prüfungsvorbereitung für Studenten und Abiturienten und nimmt die Unsicherheit vor Klausuren.

Studybees bietet Online-Crashkurse und Crashkurse vor Ort an, in denen Schüler und Studenten auf alle wichtigen Klausurthemen vorbereitet werden.

mehr lesen