Integration durch Substitution

Integration durch Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel vom Ableiten. Sie kommt zum Einsatz, wenn eine Funktion „in der anderen drinnen steckt“. Dabei ersetzt man die innere Funktion durch u (kann auch anderer Buchstabe sein), um leichter integrieren zu können. Kann sein, dass ihr eine etwas andere Formel kennt, jedoch finde ich diese deutlich leichter:

Formel der Integration durch Substitution

Substitution richtig durchführen:

  1. Sucht euch den Teil der Funktion, den ihr substituieren wollt.
    • Tipp: Immer den Teil ersetzen, der selbst in einer Funktion steckt. 
    • Z.B. bei y=cos(3x+1) würdet ihr 3x+1 ersetzen.   
  2. Ersetzt die Innere Funktion durch das u.
  3. Leitet die Funktion, die ihr ersetzt habt, ab und schreibt sie als Kehrbruch mit einem Mal an die Funktion.
  4. Jetzt müsst ihr nach u Integrieren
  5. Setzt in das Ergebnis das, was ihr durch u ersetzt habt, wieder für u ein.

Beispiel 1

Bei dieser Funktion müsst ihr die Integration durch Substitution durchführen, da eine Funktion in der Anderen „drinnen steckt“.

Aufgabe zur Integration durch Substitution
  • Stellt fest, welchen Teil ihr durch u ersetzen müsst, also die innere Funktion. 
Erster Schritt der Integration durch Substitution, durch bestimmen der inneren Funktion
  • Leitet diese Funktion jetzt ab (die innere Funktion, die ihr ersetzt).
Ableitung der inneren Funktion
  • Setzt nun alles so wie in der Formel ein, also ersetzt die innere Funktion durch u und multipliziert daran den Kehrbruch der Ableitung der inneren Funktion.
Einsetzten der Ableitung in die Formel
  • Integriert nun nach u (aufpassen nicht nach x!). Leitet also so ab, als wäre u das x.
Berechnung des Integrals
  • Jetzt ersetzt ihr nur noch das u durch die innere Funktion (also 2x) und ihr seid fertig.
Lösung der Beispielaufgabe

Beispiel 2

Bestimmt die innere Funktion, die ihr ersetzen müsst. Hier ist es der Exponent vom e, also -3x2

Aufgabe zur Integration durch Substitution
  • Also ist das u:
Bestimmen der inneren Funktion
  • Leitet das u ab:
Ableitung der inneren Funktion
  • Setzt nun alles so wie in der Formel ein, also ersetzt die innere Funktion durch u und multipliziert daran den Kehrbruch der Ableitung der inneren Funktion. 
Einsetzen in die Formel
  • Kürzt wenn möglich. 
Kürzen des Integrals
  • Jetzt müsst ihr nach u integrieren. Da die e-Funktion gleich bleibt, ist das hier nicht so schwer.
Stammfunktion des Integrals berechnen
  • Setzt jetzt nur noch die innere Funktion für u ein und ihr seid fertig.
Lösung der 2. Beispielaufgabe zur Integration durch Substitution

Erkennen der inneren Funktion

Die innere Funktion ist immer die, die in einer anderen Funktion „drinnen steckt“. Ein Merkmal der inneren Funktion ist, dass wenn man sie in die Funktion durch ein x ersetzen würde, die Funktion einfach zu integrieren wäre.  

Meistens ist die innere Funktion das, was … 

  • … im Cosinus, Sinus oder Tangens steht.
    • f(x) = cos(2x+1)  ->  u=2x+1
  • … im Exponenten der e-Funktion steht.
    • f(x) = e4x+1   ->   u=4x+1
  • … im Nenner eines Bruchs steht
    • f(x) = 1/(x2+3)    ->   u=x2+3
  • … im Logarithmus steht
    • f(x) = ln(x2)   ->   u=x2

Integralrechner:

Hier könnt ihr euch die Stammfunktion im Rechner berechnen lassen:

Arbeitsblätter

Wenn ihr üben möchtet, findet ihr Aufgaben mit Lösung auch auf unserer Seite. Guckt einfach hier:

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