Gruppen und Untergruppen

Gruppen

Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung ◦, die:

  • assoziativ ist 
  • und für die ein neutrales Element und für jedes Element ein Inverses existiert.

Eine Gruppe besteht also immer aus zwei Daten: einer Menge und einer Verknüpfung. Deshalb schreibt man auch oft “Sei (G,◦) eine Gruppe”. Um sich Schreibarbeit zu sparen, sagt man oft kurz “Sei G eine Gruppe” und denkt sich die Verknüpfung ◦ dazu.

  • In einer Gruppe nennt man die Verknüpfung auch oft Multiplikation und man schreibt oft ab anstatt a◦b. 
  • Man nennt G eine kommutative (oder abelsche) Gruppe, falls die Verknüpfung “◦” kommutativ ist. 
  • Ist G kommutativ, so schreibt man oft auch “+” für die Verknüpfung und nennt dies Addition. Das neutrale Element wird dann mit “0” bezeichnet, und das zu a inverse Element mit−a. Anstatt b + (−a) schreibt man dann b−a.

Beispiele:

  • (ℤ,+) ist eine Gruppe, (ℕ,+) ist keine Gruppe.
  • (ℝ,+) und (ℝ\{0},·) sind Gruppen. 
  • Die triviale Gruppe ist die einelementige Menge M = {e} mit der trivialen Verknüpfung: e◦e = e.


Video zu Gruppen

Untergruppen

Genauso wie Teilmengen kann man nun auch Untergruppen definieren. Man muss nur die Verknüpfung berücksichtigen. Sei M eine Menge mit Verknüpfung “◦” und U eine Teilmenge von M. Die Verknüpfung “◦” ist eine Abbildung von M × M nach M. Diese Abbildung kann man auf die Teilmenge U×U von M×M einschränken (ihr könnt dies beim Thema Abbildungen nochmal für Abbildungen angucken, das funktioniert genauso) und erhält eine Abbildung von U×U nach M, die man vereinfacht wieder durch das Symbol “◦” bezeichnet (statt “◦|U×U”). Das bedeutet, man bildet nur einen Teil der Menge (also die Teilmenge) U mit der Verknüpfung ab. Dies nennt man dann "Abbildung auf U einschränken."

 

Definition: Die Teilmenge U heißt stabil oder abgeschlossen unter der Verknüpfung “◦”, falls für alle a,b aus U auch a◦b in U enthalten ist. Also wenn man zwei Elemente aus U verknüpft erhält man wieder ein Element aus U. Ist U also stabil unter “◦”, so erhält man eine neue Abbildung ◦: U×U →U, also eine Verknüpfung auf U. (Das bedeutet es darf kein Element rauskommen, dass nicht in U ist)

 

Definition Untergruppe:

Sei G eine Gruppe mit Verknüpfung “◦”. Eine Teilmenge U von G heißt Untergruppe von G, falls:

  • U stabil ist unter “◦”, 
  • U mit der Verknüpfung “◦” ebenfalls eine Gruppe ist.

 

Beispiele: 

  • Die Menge {n 3 | n ∈ Z} = {...,−2 3,−1 3,0, 1 3 2 3,...} ⊂ ℚ ist eine Untegruppe von (ℚ,+).
  • Die Menge {n 3 | n ∈ Z, n\{0}} = {...,−2 3,−1 3, 1 3, 2 3,...} ⊂ ℚ\{0} ist keine Untergruppe von (ℚ\{0},·).

Wenn U eine Untergruppe von G ist, dann gilt:

  • Das neutrale Element in U ist das selbe wie in G
  • Das Inverse Element eines Elements a in U, ist das selbe Inverse Element wie das für a in G.


Video zu Untergruppen

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Hilfe bei Matheproblemen - die fb Gruppe

Es gibt nun eine Facebook-Gruppe von Studimup, auf welcher ihr Hilfe bei Matheproblemen bekommt. Dies funktioniert so:

  1. Ihr stellt eure Frage als Post in die Gruppe.
  2. Wenn jemand die Antwort weiß, kann er sie in den Kommentaren beantworten. 

Wenn ihr also mal Schwierigkeiten bei einer bestimmten Aufgabe oder einem Thema habt, dann könnt ihr eure Frage in die Gruppe posten. Ebenso könnt ihr anderen Personen bei ihren Problemen helfen und so selbst das Thema üben und vertiefen. Mit der Gruppe soll es möglich sein, möglichst schnell antworten auf ein Problem zu bekommen (z.B. bei einer Hausaufgabe). Je mehr Leute mitmachen, desto besser funktioniert dieses System. 

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