Hypothesentest

 

Bei einem Hypothesentest testet ihr, unter welchen Bedingungen eine Hypothese wahrscheinlich stimmt oder eher nicht. Eine Hypothese ist nichts anderes als eine Behauptung, beispielsweiße das höchstens 20% der Menschen Mathe mögen. Durch den Hypothesentest könnt ihr dann überprüfen, ob die Hypothese eher stimmt oder nicht, wichtig dabei ist aber zu wissen, dass der Hypothesentest nicht immer zu 100% stimmt, sondern nur sagt ob es wahrscheinlich stimmt oder nicht.

 

Wichtige Begriffe

Bei einem Hypothesentest testet ihr, unter welchen Bedingungen eine Hypothese wahrscheinlich stimmt oder eher nicht. Eine Hypothese ist nichts anderes als eine Behauptung, beispielsweiße das höchstens 20% der Menschen Mathe mögen.

Erst mal paar wichtige Begriffe:

  • Hypothese: es wird behauptet, dass diese stimmt, oft H0 geschrieben und auch Nullhypothese genannt.
  • Gegenhypothese: diese behauptet, dass die Hypothese nicht stimmt, sie ist also das Gegenteil der Hypothese, am Beispiel von oben wäre es, dass mehr als 20% der Menschen Mathe mögen. Oft auch H1 oder Alternativhypothese genannt.
  • Signifikanzniveau: dieses gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art ist, also dass die Hypothese abgelehnt wird, obwohl sie stimmt. Es ist die Wahrscheinlichkeit, dass falls eure Hypothese stimmt, beispielsweise trotzdem mehr Leute als der kritische Wert sagen, sie mögen Mathe, da ihr z.B. Pech bei der Auswahl der befragten Leute hattet (z.B. habt ihr eine Nerd Klasse gefragt).
  • Fehler 1. Art: der Fehler erster Art bedeutet, dass die Hypothese als falsch abgelehnt wird, obwohl sie richtig ist.
  • Fehler 2. Art: dies bedeutet die Hypothese wird als richtig angenommen, obwohl sie Falsch ist
  • Kritischer Wert k: dies ist der Wert, ab welchem die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art größer ist als das Signifikanzniveau. Also wird dieser Wert erreicht, ist eure Hypothese wahrscheinlich falsch. Bei unserem Beispiel von oben bedeutet es, das ab dem Moment, wenn mehr Menschen sagen sie mögen Mathe als der kritische Wert ist die Hypothese wahrscheinlich falsch ist, bzw. die Wahrscheinlichkeit dafür größer ist als das Signifikantsniveau.
  • Linksseitiger Hypothesentest: wenn in der Hypothese ein "mindestens" oder Ähnliches steht.
  • Rechtsseitiger Hypothesentest: wenn in der Hypothese ein "höchstens" oder Ähnliches steht.
  • Beidseitiger Hypothesentest: Wenn eine genaue Zahl ohne "höchstens"/"mindestens" in der Hypothese steht, dann müsst ihr einen rechtsseitigen und linksseitigen Hypothesentest machen, das nennt man beidseitigen Hypothesentest.

Bei einem Hypothesentest kommen immer Bernoulli-Versuche vor, das sind Fälle in denen nur 2 Möglichkeiten zur Verfügung stehen (wie Münzwurf oder Ja-Nein fragen).



Hypothesentest Schritt für Schritt

 

Wir erklären euch den Hypothesentest anhand eines Beispiels: Es werden 100 Leute befragt, ob sie Mathe mögen und unsere Hypothese ist, dass höchstens 20% Mathe mögen. Wie viele Befragte müssten sagen, sie mögen Mathe, sodass die Hypothese wahrscheinlich falsch ist?

  1. Bestimmt eure Hypothese und Gegenhypothese: H0 ≤ 20%; H1>20% (Dieser Hypothesentest heißt rechtsseitiger Hypothesentest, da bei der Gegenhypothese ein > Symbol steht, wäre es ein < wäre es ein Linksseitiger)
  2. Danach bestimmt ihr ein Signifikanzniveau (falls es nicht angegeben ist), dazu sucht ihr einfach einen vernünftigen Wert aus, also sodass es nicht allzu wahrscheinlich ist, dass ihr falsch liegt, aber auch nicht so klein, dass es kaum zu schaffen ist. Das Signifikanzniveau liegt meist bei 10%, 5% oder 1%. Hier in unserem Beispiel nehmen wir 10%=0,1
  3. Das Ziel ist es, mit dem Signifikanzniveau den kritischen Wert k zu berechnen. Also den Wert, ab dem die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art größer ist als 10%. Dies macht ihr, indem ihr erstmal die Ungleichung für den Fehler 1. Art aufschreibt (also dass die Wahrscheinlichkeit das k (der kritische Wert) oder mehr Leute Mathe mögen soll bei höchstens 10% sein):
  4. Stellt die Gleichung für das Gegenteil der Hypothese auf, mit dem Signifikanzniveau als Wahrscheinlichkeit. Das stellt ihr dann so um, dass die Wahrscheinlichkeit für weniger oder gleich k Leute da steht.
    1. P(x ≥ k) ≤ 0,1            -> dass mindestens k Leute Mathe mögen liegt bei höchstens 10%

       

    2. 1-P(x < k) ≤ 0,1       -> ihr stellt die Formel um, weil ihr wissen wollt, was für ein Wert für k höchstens rauskommen darf (mit der Gegenwahrscheinlichkeit).

       

    3. 1-P(x ≤ k-1) ≤ 0,1  -> das -1 nach dem k bewirkt, dass das < zu einem ≤ wird, da ihr ja wissen wollt ab welchem Wert das gilt.

       

    4. P(x ≤ k-1) ≤ 0,9       -> Bringt nur noch die 1 auf die andere Seite und elemeniert das - und ihr seid Fertig.

  5. Jetzt habt ihr die Werte (100; 0,2; k), welche ihr entweder im Taschenrechner mit der Option binomcdf(100; 0,2; x) ausrechnen lassen könnt, oder ihr schaut im Tafelwerk nach und sucht den Wert, ab dem erstmals der Wert für 100 Befragte bei einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 über 0,9 steigt (das habt ihr ja vorher bei Punkt 4 ausgerechnet). Zu dem Wert addiert ihr noch 1 dazu, da ihr in der Formel stehen habt, dass für k-1 der Wert kleiner oder gleich 0,9 ist und das ist dann euer kritischer Wert.
  6. In diesem Beispiel ist der kritische Wert 26. Das bedeutet, dass wenn mehr als (oder gleich) 26 Leute sagen sie mögen Mathe, ihr euch ziemlich sicher sein könnt, dass eure Hypothese falsch ist und sie dann abgelehnt wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese trotzdem richtig ist, liegt bei unter 10%. Sagen weniger als 26 Leute sie mögen Mathe, könnt ihr davon ausgehen, dass eure Hypothese richtig ist. Im Video wird das selbe Beispiel nochmal erklärt:

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Beidseitiger Hypothesentest

Steht in der Aufgabenstellung nicht sowas wie "mehr als" oder "weniger als" (vom Sinn her), dann müsst ihr meist einen beidseitigen Hypothesentest machen. Ihr macht es dann genauso wie oben bei der Schritt für Schritt-Anleitung, nur einmal für nach rechts (also dafür, dass mehr Leute z.B. Mathe mögen) und einmal für links (also das weniger Leute Mathe mögen). Dann erhaltet ihr einen kritischen Wert für links und einen für rechts. Alle Werte die dazwischen liegen, sind die bei der die Hypothese als wahr angenommen werden. Guckt euch noch das Video an, falls ihr euch unsicher fühlt:

Empfohlenes Video zum beidseitigen Hypothesentest

Linksseitigen, rechtsseitigen und beidseitigen Hypothesentest erkennen

  • rechtsseitiger Hypothesentest: den müsst ihr durchführen, wenn in der Hypothese "höchstens" da steht, oder vom Sinn her etwas Gleichbedeutendes (siehe Beispiel unten). Also zum Beispiel sagt die Hypothese, dass höchstens 20% Mathe mögen.
  • linksseitiger Hypothesentest: den müsst ihr durchführen, wenn in der Hypothese "mindestens" steht, oder etwas Ähnliches. Zum Beispiel, dass mindestens 30% der Raucher Lungenkrebs bekommen. Diese Hypothese müsstet ihr mit einem linksseitigen Hypothesentest testen.
  • beidseitiger Hypothesentest: den müsst ihr durchführen, wenn in der Hypothese weder "mindestens" noch "höchstens" steht, sondern ein genauer Betrag. Zum Beispiel: "30% der Menschen können nicht lesen" oder "Eine Maschine produziert 200 Teile in der Stunde". In diesen Fällen müsst ihr einen beidseitigen Hypothesentest durchführen. Also erst einen linksseitigen und dann einen rechtsseitigen.

Hier ist eine Grafik dazu. Auf der x-Achse ist die Anzahl an Treffern angegeben (z.B. das bei einer Stichprobe die Maschine 25 Teile pro Stunde produziert hat) und auf der y-Achse die Wahrscheinlichkeit dazu. Sobald die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Treffern unter dem Signifikanzniveau liegt, beginnt der Ablehnungsbereich, also der, ab dem die Hypothese als falsch angenommen wird:

 

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