Gauß-Algorithmus

Dies ist ein recht einfaches Verfahren lineare Gleichungssysteme zu lösen. Ihr kennt dies bereits in gewisser weise aus der Schule als Additionsverfahren, Gleichsetztungsverfahren usw. Der Gauß-Algorithmus besteht darin, durch geschicktes Verketten der drei elementaren Umformungen aus einem Gleichungssystem ein anderes zu konstruieren, welches die selbe Lösungsmenge hat, aber in Zeilenstufenform gegeben ist, also einfach zu lösen ist.

Beispiel:

Wir betrachten das Gleichungssystem

X₁ + 2X₂ + 3X₃ = 1

2X₁ + 4X₂ + 7X₃ =4

4X₁ + 2X₂ = 0.

Nun multiplizieren wir die erste Gleichung mit −2 und addieren sie zur zweiten und erhalten das System

X₁ + 2X₂ + 3X₃ = 1

X₃ = 2

4X₁ + 2X₂ = 0.

Nun addieren wir das −4-fache der ersten Gleichung zur dritten und erhalten das System

X₁ + 2X₂ + 3X₃ = 1

X₃ = 2

−6X₂ − 12X₃ = −4.

Nun vertauschen wir noch die zweite mit der dritten Gleichung und erhalten ein System in Zeilenstufenform:

X₁ + 2X₂ + 3X₃ = 1

−6X₂ − 12X₃ = −4

X₃ = 2

Hier können wir die Lösung X₃ = 2, X₂ = −10/3 und X₁ = 5/3 einfach ablesen.

Also geht es dabei nur darum, die Gleichung so umzuformen, dass die Gleichung dann in Zeilenstufenform steht. Es wird versucht ein X_i "los zu werden", solange bis die Gleichung dann in Zeilenstufenform steht.

Ein lineares Gleichungssystem ist gegeben durch die Koeffizienten aij und die bk’s, deshalb kann man es auch so schrieben, dass man nur jeden Faktor hin schreibt und was hinter dem = steht. Das sieht dann so aus:

So lässt sich der Gauß-Algorithmus leichter berechnen:

Die Lösung X₃ = 11/3 , X₂ = −3/5, X₁ = −24/5 kann man fast direkt ablesen.