Folgen und Reihen von Funktionen

Hier wollen wir überlegen, welche Aussagen man über das Konvergenzverhalten von Funktionenfolgen bzw. Reihen von Funktionen treffen kann. Insbesondere sind wir an Stetigkeitseigenschaften der Grenzfunktionen interessiert.

Definition 1:

• Sei M ⊂ ℝ^ℕ, und für n ∈ ℕ seien Funktionen f_n: M → ℝ gegeben. Die Funktionenfolge (f_n)_n∈ℕ heißt auf M (punktweise) konvergent, wenn für jedes x ∈ M die Zahlenfolge (f_n(x))_n∈ℕ konvergent ist. Unter der Grenzfunktion f := lim_n→∞f_n einer konvergenten Funktionenfolge versteht man die durch f(x) := lim_n→∞f_n(x) auf M definierte reellwertige Funktion.

Definition 2:

• Eine Funktionenfolge (f_n)_n∈ℕ konvergiert auf M gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f, wenn es zu jedem ε > 0 ein n₀∈ℕ gibt, so dass für alle n ≥ n₀ und für alle x∈M gilt

|f_n(x)−f(x)| < ε

Satz 1:

• Konvergiert eine Funktionenfolge (f_n)_n∈ℕ gleichmäßig gegen f und sind alle f_n in x₀∈ M stetig, so ist auch f stetig in x₀.

Definition 3:

• Ist (f_n)_n∈ℕ eine Folge von Funktionen f_n: M → ℝ, so heißt die Folge (∑^N_i=1f_i)_n∈ℕ, in Zeichen ∑^∞_i=1f_i, (unendliche) Reihe von Funktionen.

• Ist die Reihe ∑^∞_i=1f_i konvergent, so wird die Grenzfunktion ebenfalls mit dem Symbol ∑^∞_i=1f_i bezeichnet

Definition 4:

• Die Reihe ∑^∞_i=1f_i von Funktionen f_i heißt punktweise konvergent, wenn die Folge der Partialsummen S_N := ∑^N_i=1f_i konvergiert.

• Sie konvergiert gleichmäßig, wenn die Folge der Partialsummen gleichmäßig konvergiert.

Satz 2:

• Konvergiert die Reihe ∑^∞_i=1f_i gleichmäßig auf M⊂ℝ ⁿ und sind alle f_i in x₀∈M stetig, so ist f =∑^∞_i=1f_i in x₀ stetig.

   

Satz 3:

• Sei ∑^∞_i=1a_i eine konvergente Reihe mit nicht negativen Gliedern und ∑^∞_i=1f_i eine unendliche Reihe von Funktionen f_i:M→ℝ . Falls |f_i(x)|≤ a_i für alle i ∈ℕ und x ∈ M, so konvergiert ∑^∞_i=1f_i gleichmäßig gegen Grenzfunktion s. Sind die f_i, i∈ℕ, stetig, so ist auch s stetig.

Korollar 1:

Die Funktionenreihen

sind stetig auf ℝ.