Folgen und Reihen von Funktionen

Hier wollen wir überlegen, welche Aussagen man über das Konvergenzverhalten von Funktionenfolgen bzw. Reihen von Funktionen treffen kann. Insbesondere sind wir an Stetigkeitseigenschaften der Grenzfunktionen interessiert.

 

Definition 1:

  • Sei M ⊂ ℝ, und für n ∈ ℕ seien Funktionen fn: M → ℝ gegeben. Die Funktionenfolge (fn)n∈ℕ heißt auf M (punktweise) konvergent, wenn für jedes x ∈ M die Zahlenfolge (fn(x))n∈ℕ konvergent ist. Unter der Grenzfunktion f := limn→∞fn einer konvergenten Funktionenfolge versteht man die durch f(x) := limn→∞fn(x) auf M definierte reellwertige Funktion.

 

Definition 2:

  • Eine Funktionenfolge (fn)n∈ℕ konvergiert auf M gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f, wenn es zu jedem ε > 0 ein n0∈ℕ gibt, so dass für alle n ≥ n0 und für alle x∈M gilt

 

|fn(x)−f(x)| < ε

 

Satz 1:

  • Konvergiert eine Funktionenfolge (fn)n∈ℕ gleichmäßig gegen f und sind alle fn in x0∈ M stetig, so ist auch f stetig in x0.

 

Definition 3:

  • Ist (fn)n∈ℕ eine Folge von Funktionen fn: M → ℝ, so heißt die Folge (∑Ni=1fi)n∈ℕ, in Zeichen ∑i=1fi, (unendliche) Reihe von Funktionen.
  • Ist die Reihe ∑i=1fi konvergent, so wird die Grenzfunktion ebenfalls mit dem Symbol ∑i=1fi bezeichnet

 

Definition 4:

  • Die Reihe ∑i=1fi von Funktionen fi heißt punktweise konvergent, wenn die Folge der Partialsummen SN := ∑Ni=1fi konvergiert.

  • Sie konvergiert gleichmäßig, wenn die Folge der Partialsummen gleichmäßig konvergiert.

 

Satz 2:

  • Konvergiert die Reihe ∑i=1fi gleichmäßig auf M⊂ℝ n und sind alle fi in x0∈M stetig, so ist f =∑i=1fi in x0 stetig.

     

Satz 3:

  • Sei ∑i=1ai eine konvergente Reihe mit nicht negativen Gliedern und ∑i=1fi eine unendliche Reihe von Funktionen fi:M→ℝ . Falls |fi(x)|≤ ai für alle i ∈ℕ und x ∈ M, so konvergiert ∑i=1fi gleichmäßig gegen Grenzfunktion s. Sind die fi, i∈ℕ, stetig, so ist auch s stetig.

 

Korollar 1:

Die Funktionenreihen

sind stetig auf ℝ.

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