Konvergenz und Divergenz beweisen

Um die Konvergenz und Divergenz von Folgen und Reihen zu bestimmen gibt es einige Kriterien. Nicht alle sind immer anwendbar, jedes ist für einen bestimmten Fall geeignet.

Majorantenkriterium und Minorantenkriterium

Beweis für: Konvergenz und Divergenz

Nützlich bei: Reihen für die andere Reihen bekannt sind welche konvergieren oder divergieren und deren Summanden positiv sind

 

Will man wissen, ob eine Folge oder Reihe konvergent oder divergent ist und man hat eine konvergente oder divergente Vergleichsfolge oder Reihe, kann man das Majorantenkriterium verwenden.

Angenommen man will die Reihe

auf Konvergenz überprüfen. Und man hat eine andere Reihe von der man weiß sie ist konvergent und fast alle ihre Summanden sind positiv, nennen wir sie mal T.

Wenn dann für die Summanden gilt

ist auch die Reihe S konvergent. Also nicht so schwer, wenn man eine Vergleichsreihe hat.

Kehrt man diesen Schluss um, erhält man das Minorantenkriterium: Sind S und T  Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden und gilt:

für fast alle n, dann folgt: Ist T diesmal divergent, dann ist auch S divergent.

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Wurzelkriterium

Beweis für: Divergenz und absolute Konvergenz

Nützlich bei: Reihen mit "hoch n" (also Reihen in denen ein Exponent gegen unendlich läuft)

 

Sei eine unendliche Reihe S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n} mit reellen oder komplexen Summanden a_{n} gegeben. Falls man nun

{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq C für ein C<1 für fast alle Indizes n gilt, ist die Reihe absolut konvergent. Das bedeutet, dass selbst wenn man in der unendlichen Reihe die Summanden mit Betragsstrichen versieht ist die Reihe immer noch konvergent. Wenn nicht divergiert die Reihe!

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Quotientenkriterium

Beweis für: Divergenz und absolute Konvergenz

Nützlich bei: falls kein anderes Kriterium geht oder Reihen die leicht um n+1 erweitert und durcheinander geteilt werden können.

 

Gegeben sei eine Reihe S := \sum_{n=0}^\infty a_n mit reellen oder komplexen Summanden, a_n\neq 0 für fast alle n\in \mathbb {N} . Gibt es ein q < 1, so dass für fast alle n\in \mathbb {N} gilt

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le q<1,

so ist die Reihe absolut konvergent (was das heißt wurde beim Wurzelkriterium erklärt). Gilt dagegen für fast alle n\in \mathbb {N}

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \ge 1,

so ist die Reihe divergen

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Leibnizkriterium

Beweis für: Konvergenz

Nützlich bei: alternierenden Reihen

 

Sei (a_{n})_{n\in \mathbb {N} } eine monoton fallende, reelle Nullfolge (also das die Folge gegen Null geht für n gegen unendlich), dann konvergiert die alternierende Reihe (Eine Reihe in der Abwechselnd ein positives und ein negatives Glied vorkommen).

s=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\,.

Über den Grenzwert der Reihe macht das Kriterium jedoch keine Aussage.

Das Kriterium gilt auch für monoton wachsende Nullfolgen.

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