Partielle Ableitung

Unter der partiellen Ableitung versteht man, dass eine Funktion nach einer bestimmten Variablen abgeleitet wird. Gibt es z.B. in einer Funktion ein x und ein y, dann kann man entweder nach x ableiten oder nach y. Das wären die beiden möglichen partiellen Ableitungen. 

Erste Ableitung

Bei der ersten Ableitung, wird die Funktion nach der jeweiligen unbekannten abgeleitet. Geschrieben wird dies bei einer Funktion z, welche so gegeben ist, folgendermaßen:

Dieses komisch aussehende d bedeutet partielle Ableitung, dabei steht das z für die Funktion und das untere (z.B. x) für die Unbekannte, nach der abgeleitet werden soll. 

Beispiel

Hier ein Beispiel:

Diese Funktion wird zunächst nach x partiell abgeleitet. Also leitet ihr ganz normal, wie ihr es kennt nach x ab und tut so, als wäre y einfach irgendeine Zahl. So erhaltet ihr folgendes Ergebnis:

Nun wird z nach y partiell abgeleitet. Also tut diesmal so, als wäre x irgendeine Zahl und leitet gewöhnlich nach y ab. Ihr erhaltet dann:

Zweite Ableitung

Bei der zweiten Ableitung gibt es mehr Fälle. Ihr könnt ja die nach x abgeleitete Funktion nochmal nach x ableiten, aber ihr könnt sie auch nach y ableiten. Daher ergeben sich für die 2. Ableitung folgende Möglichkeiten:

  • Die nach x abgeleitete Funktion nach x ableiten
  • Die nach x abgeleitete Funktion nach y ableiten (Die nach y abgeleitete Funktion nach x ableiten ist dasselbe, man erhält beide Male das gleiche Ergebnis)
  • Die nach y abgeleitete Funktion nach y ableiten. 

Wichtig!: Es ist egal, ob erst nach x und dann nach y abgeleitet wird! Es kommt dasselbe raus! Siehe:

Beispiel

Dieselbe Funktion wie von darüber:

Jetzt wird die erste Ableitung der Funktion nach x nochmal nach x abgeleitet:

Dann die erste Ableitung der Funktion nach x, nach y abgeleitet:

Und noch die erste Ableitung der Funktion nach y nochmal nach y: