Extremstellen und Hoch/Tiefpunkte
Extremstellen sind Punkte einer Funktion, an denen die Steigung vorübergehend 0 ist, also fallen sie davor zum Beispiel und danach steigen sie, der Punkt, an dem sich das ändert (Monotonie), ist ein Extrempunkt. Häufig werden sie auch Hochpunkte und Tiefpunkte genannt.
Extremstellen berechnen
Extremstellen sind dort zu finden, wo die 1. Ableitung 0 ist, also f´(x)=0. Denn wie oben beschrieben ist eine Extremstelle der Punkt, an dem die Steigung vorübergehend 0 ist und die Ableitung gibt genau die Steigung einer Funktion an. Das Vorgehen zum Bestimmen der Extremstellen ist dann:
- Ableitung bestimmen
- Nullstellen der Ableitung bestimmen -> das sind dann die x-Koordinaten der Extremstellen
- Um die y-Koordinate zu berechnen, setzt ihr das so berechnete x in die Funktion ein.
Hochpunkt oder Tiefpunkt?
Jetzt müsst ihr meist auch noch bestimmen, ob dies ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, um dies zu bestimmen macht ihr folgendes:
- Bestimmt die 2. Ableitung der Funktion (erste Ableitung nochmal ableiten).
- Setzt in die 2. Ableitung den x-Wert eurer Extremstelle ein (habt ihr darüber berechnet ↑), falls es ein x in der 2. Ableitung gibt, wenn nicht
guckt ihr einfach, das Ergebnis an sich an:
- Ist der Wert, den ihr erhaltet positiv, ist es ein Tiefpunkt
- ist der Wert negativ, ist es ein Hochpunkt
Beispiel zur Berechnung von Extremstellen
Wenn ihr die Extremstellen der folgenden Funktion berechnen "wollt" ...:
f(x)=x2
1. Bestimmt die Ableitung der Funktion:
f´(x)=2x
2. Dann bestimmt ihr die Nullstellen der 1. Ableitung (an der/den Stelle(n) ist/sind die Extremstelle(n)):
0=2x
-> x=0
3. Um nun zu bestimmen, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, setzt ihr die Nullstelle der 1. Ableitung in die 2. Ableitung ein und schaut euch das Ergebnis an, ist es positiv, ist es ein Tiefpunkt und ist es negativ, ist es ein Hochpunkt. Ist kein x da, guckt euch nur das Ergebnis an, ob dieses positiv oder negativ ist.
f´´(x)=2
2>0
Da die 2. Ableitung positiv ist, ist es ein Tiefpunkt. Hier ist es also ein Tiefpunkt an der Stelle x=0.
4. Wenn ihr die x-Koordinate in die ursprüngliche Funktion für x einsetzt (also 0 für x in die Funktion f einsetzen), habt ihr die y-Koordinate der Extremstelle.
y=02=0
Diese Extremstelle liegt bei (0|0).
Hier seht ihr die Funktion, dabei ist die Extremstelle bei x=0.
2. Beispiel zum Berechnen von Extremstellen
Ihr möchtet die Extremstellen der Funktion g: y=2x2+x berechnen. Geht wie oben beschrieben vor:
1. Leitet die Funktion ab:
g´(x)=4x+1
2. Bestimmt die Nullstelle der Ableitung:
0=4x+1
-> x=-0,25
3. Möchtet ihr nun wissen, ob es ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist, leitet die Ableitung nochmal ab:
g´´(x)=4
4>0
Jetzt wisst ihr, dass es ein Tiefpunkt ist, da die 2. Ableitung größer als 0 ist.
4. Um die y-Koordinate der Extremstelle zu erfahren, setzt ihr die x-Koordinate, welche ihr bereits berechnet habt, in die Funktion vom Anfang ein:
x = 2 · (-0,25)2 - 0,25 = -0,125
Die Koordinaten sind also:
S(-0,25|-0,125)
Aufgabe: Berechnen von Extremstellen
Hier ein weiteres Beispiel, welches ihr als Übung auch durchrechnen könnt. Klickt auf Einblenden, um die Lösung zu sehen:
| Extremstellen von f(x)=-x3+3x2 | Einblenden | |
Aufgaben und Spickzettel zu Extremstellen
Aufgaben und Spickzettel zu diesem Thema findet ihr über den Button unten. Dort könnt ihr euch Übungsblätter downloaden. Lösungen zu den Aufgaben findet ihr dort ebenfalls:
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