Extremstellen und Hoch/Tiefpunkte

Extremstellen sind Punkte einer Funktion, an denen die Steigung vorübergehend 0 ist, also fallen sie davor zum Beispiel und danach fallen sie, der Punkt, an dem sich das ändert (Monotonie) ist ein Extrempunkt. 

Extremstellen berechnen

Extremstellen sind dort zu finden, wo die 1. Ableitung 0 ist, also f´(x)=0. Denn wie oben beschrieben ist eine Extremstelle der Punkt, an dem die Steigung vorübergehend 0 ist und die Ableitung gibt genau die Steigung einer Funktion an. Das Vorgehen zum bestimmen der Extremstellen ist dann:

  1. Ableitung bestimmen
  2. Ableitung 0 setzen, also Nullstellen der Ableitung bestimmen -> das sind dann eure Extremstellen

Dazu könnt ihr euch noch mal die Ableitungen wiederholen: HIER GEHT´S ZUR ABLEITUNG


Hochpunkt oder Tiefpunkt?

Jetzt müsst ihr meist auch noch bestimmen, ob dies ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, um dies zu bestimmen macht ihr folgendes:

  1. Leitet die Ableitung von oben noch mal ab (einfach ableiten wie immer), das nennt man 2. Ableitung und schreibt man f´´(x)
  2. Setzt in die 2. Ableitung den x-Wert eurer Extremstelle ein (Habt ihr darüber berechnet ), falls es ein x in der 2. Ableitung gibt, wenn nicht guckt ihr einfach, das Ergebnis an sich an:
    • Ist der Wert, den ihr erhaltet positiv, ist es ein Tiefpunkt
    • ist der Wert negativ, ist es ein Hochpunkt
    • Kommt Null raus, müsst ihr euch die Funktion genauer angucken (z.B. zeichnen, Punkte einsetzen und ausrechnen....)
  3. Wollt ihr dann noch die y-Koordinate des Hoch/Tiefpunktes berechnen, setzt einfach die x-Koordinate (aus Punkt 2. von oben) des Extrempunktes in die ursprüngliche Funktion ein, das ist dann eure y-Koordinate


Beispiel 1

Wenn ihr die Extremstellen der folgenden Funktion berechnen wollt...:

 

f(x)=x2

1. Bestimmt die Ableitung der Funktion:

f´(x)=2x

2. Dann bestimmt ihr die Nullstellen der 1. Ableitung (an der/den Stelle(n) ist/sind die Extremstelle(n)):

0=2x

-> x=1

3. Um nun zu bestimmen, ob es ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt ist, setzt ihr die Nullstelle der 1. Ableitung in die 2. Ableitung ein und schaut euch das Ergebnis an, ist es positiv, ist es ein Tiefpunkt und ist es negativ, ist es ein Hochpunkt. Ist kein x da, guckt euch nur das Ergebnis an, ob dieses positiv oder negativ ist. Wenn Null rauskommt, müsst ihr euch die Funktion genauer angucken (z.B. zeichnen oder einen Punkt vor und nach der Extremstelle einsetzen):

f´´(x)=2

2>0

Hier ist es ein Tiefpunkt an der Stelle x=0.

 

4. Wenn ihr die x-Koordinate in die ursprüngliche Funktion für x einsetzt (also 0 für x in die Funktion f einsetzen), habt ihr die y-Koordinate der Extremstelle. -> y=02=0 -> Diese Extremstelle liegt bei (0|0).

Hier seht ihr die Funktion, dabei ist die Extremstelle bei x=0.


Rechner

Hier könnt ihr euch die Extremstellen, Ableitung und Nullstellen gleich berechnen lassen (falls nicht angezeigt liegt es an AdBlock):

Beispiel 2

Ihr möchtet die Extremstellen der Funktion g: y=2x2+x berechnen. Geht wie oben beschrieben vor:

 

1. Leitet die Funktion ab:

 

g´(x)=4x+1

 

2. Bestimmt die Nullstelle der Ableitung:

 

0=4x+1

-> x=-0,25

 

3. Möchtet ihr nun wissen, ob es ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist, leitet die Ableitung nochmal ab:

 

g´´(x)=4

4>0

 

Jetzt wisst ihr, dass es ein Tiefpunkt ist, da die 2. Ableitung größer als 0 ist.

 

4. Um die y-Koordinate der Extremstelle zu erfahren, setzt ihr die x-Koordinate, welche ihr bereits berechnet habt, in die Funktion vom Anfang ein:

 

x=2·(-0,25)2+1=0,375

 

Die Koordinaten sind also:

 

S(-0,25|0,375)

Übungsaufgabe / Beispiel 3

Hier ein weiteres Beispiel, welches ihr als Übung auch durchrechnen könnt. Klickt auf Einblenden, um die Lösung zu sehen:

Extremstellen von f(x)=-x3+3x2 Einblenden


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