Eigenvektoren und Eigenwerte

Die nächste zentrale Definition ist die von Eigenwerten und Eigenvektoren eines Endomorphismus eines Vektorraums. 

Sei f : V → V ein Endomorphismus. Ein λ ∈ K heißt Eigenwert von f, wenn es einen Vektor v ∈ V ungleich Null gibt mit f(v) = λv. Solch ein Vektor heißt dann ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ.
Ein Eigenvektor bzgl. f ist also ein Vektor, der nicht Null ist und der durch f um einen Faktor λ, den Eigenwert, gestreckt wird. Wir definieren:

 

E(f,λ) = {v∈V | f(v) = λv}

 

für alle λ ∈ K. Dies ist ein Untervektorraum von V. Per definitionem ist λ ∈ K ein Eigenwert von f, wenn es einen Vektor v≠0 in E(f,λ) gibt. E(f,λ) = {v ∈ V | f(v) = λv} ist E(f,λ) ein Untervektorraum von V.

Berechnen von Eigenwerten und Eigenvektoren

Nach Definition muss ja f(v)=λv sein. Das bedeutet konkret (A ist eine Matrix)

 

Ax=λx.

 

Dies lässt sich auch umschreiben, mit E der Einheitsmatrix, in

 

Ax=λEx

Das lässt sich dann umformen zu:

 

(A-λE)x=0

 

Um nun den Eigenwert zu berechnen löst man diese Gleichung und da x≠0 vorausgesetzt wird folgt, dass es nur genau dann lösbar ist wenn (A-λE) einen nicht trivialen Kern hat (also kein Kern ≠0). Das bedeutet wiederum, dass die Determinante 0 sein muss:

 

det(A-λE)=0.

 

Diese Determinante nennt man dann „charakteristisches Polynom“. Die Nullstellen dieses Polynoms sind dann die Eigenwerte.

 

Nun zur Bestimmung der Eigenvektoren. Dafür setzt man den Eigenvektor in die Gleichung

 

(A-λE)x=0

 

anstelle des λ ein und erhält so ein Gleichungssystem das man lösen kann. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist dann der Eigenvektor bzw. die Eigenvektoren.

 

 

Beispiel:

Am Beispiel der Matrix bestimmen wir mal die Eigenwerte:

Setzt sie wie oben beschrieben in die Gleichung (A-λE)=0 ein, dann erhaltet ihr:

Dann Berechnet ihr die Determinante dazu:

Die Nullstellen des Polynoms sind dann eure Eigenwerte. Also in diesem Fall λ1,2=2 und λ3=-2.

 

Jetzt gehts weiter mit den Eigenvektoren, dazu setzt ihr wie oben beschrieben die Eigenwerte für λ ein, erstmal die 2:

Dann muss man das Gleichungssystem lösen und erhällt durch Umformung:

Der Vektor lässt sich so leicht ablesen:

Die Eigenvektoren sind dann alle Vielfachen dieses Vektors!

 

Für den Eigenwert -2 macht ihr das dann einfach genauso:

So erhaltet ihr die Zweiten Eigenvektoren, nämlich alle Vielfachen des Vektors:

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