Partielle Integration

Die partielle Integration (oder auch Produktintegration) ist der Produktregel beim Ableiten ähnlich, es ist sozusagen die Umkehrung dieser. Sie ist ein Hilfsmittel, um Funktionen integrieren zu können, bei denen es auf andere Art und weiße schwer wäre. Hier die allgemeine Formel:

 

Berechnung

Das Vorgehen bei der partiellen Integration ist Folgendes:

  1. Die Funktion muss aus zwei Produkten bestehen, ihr betrachtet beide dann als "einzelne Funktionen"
  2. Die partielle Integration ist nur sinnvoll, wenn eines der beiden Produkte leicht aufzuleiten ist und das andere beim Ableiten vereinfacht wird (z.B. x, denn wenn man x ableitet, wird es 1)
  3. Leitet das, was leicht zu integrieren ist auf und das andere ab.
  4. Setzt das alles, wie oben in der Formel, ein und berechnet das letzte Integral, dann seid ihr fertig.

 

Wann ist die partielle Integration hilfreich? Dann, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • wenn die zu integrierende Funktion aus zwei Produkten besteht und beide für sich eine Funktion bilden (also beide Produkte ein x enthalten).
  • wenn das eine Produkt leicht zu integrieren ist und das andere beim Ableiten vereinfacht wird, z.B. x wird zu 1.
  • wenn durch mehrfaches partielles Integrieren der eine Teil beim Integrieren nie erschwert wird, was zum Beispiel beim Sinus und Cosinus der Fall ist, oder bei der e-Funktion und der andere Teil nach mehrfachem Ableiten wegfällt.


Beispiel 1

  • Ihr möchtet dieses Integral partiell integrieren

 


  • Dann stellt erst mal fest, welche der beiden Teile aufgeleitet, bzw. abgeleitet werden sollen. Das, was durch Ableiten vereinfacht wird, solltet ihr dann ableiten und das andere aufleiten.

  • Führt dann die Auf- bzw. Ableitung durch.

  • Setzt das, was ihr so erhaltet, in die Formel der partiellen Integration ein und berechnet das Integral.

  • Nun seid ihr fertig. Das, was rauskommt, ist das Integral eurer Funktion vom Anfang.

Beispiel 2

  • Ihr möchtet dieses Integral partiell integrieren.

 


  • Überlegt euch zunächst, welchen Teil der Funktion ihr aufleiten möchtet und welchen ableiten.

  • Leitet dann das, was sich beim ableiten vereinfacht, ab und das Andere auf.

  • Setzt das dann in die Formel ein und berechnet das Integral.

  • Das, was dann rauskommt, ist euer Ergebnis des Integrals von oben.

Beispiel 3: mehrfach Ausführung

Manchmal müsst ihr die partielle Integration mehrfach hintereinander ausführen, um auf das Ergebnis zu kommen. Wie bei diesem Integral:

 

  • Bestimmt erst, wie sonst auch immer, welcher Teil des Integrals Auf- bzw. Abgeleitet wird:
  • Leitet dann das, was beim Ableiten einfacher wird, ab und das andere auf:
  • Setzt das dann in die Formel ein:
  • Jetzt macht ihr nochmal die partielle Integration für das Integral, welches hinten dran in der Formel steht:
  • Nochmal das, was einfacher wird, ableiten und das andere aufleiten:
  • Setzt das in die Formel für den Teil mit dem Integral ein, zusammen mit dem, was ihr nach der ersten partiellen Integration erhalten habt und integriert das hintere Integral, dann seid ihr fertig. (Kann sein, dass ihr in anderen Aufgaben noch einmal die partielle Integration durchführen müsst):
  • Das ist dann euer Ergebnis des Integrals von ganz oben.

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