Die partielle Integration (oder auch Produktintegration) ist der Produktregel beim Ableiten ähnlich, es ist sozusagen die Umkehrung dieser. Sie ist ein Hilfsmittel, um Funktionen integrieren zu können, wenn die Funktion selbst aus zwei Funktionen (z.B. sin(x) und x) besteht, welche multipliziert werden:
Das Vorgehen bei der partiellen Integration ist Folgendes:
Hier zwei Tipps für die partielle Integration:
Dieses Integral kann zum Beispiel partiell integriert werden.
Stellt zuerst fest, welcher der beiden Faktoren aufgeleitet (f´(x)), bzw. abgeleitet werden soll (g(x)). Der, welcher durch Ableiten vereinfacht wird, sollte abgeleitet werden (hier x) und der Andere aufgeleitet (hier sin(x)).
Führt dann die Auf- bzw. Ableitung dieser beiden Funktionen durch.
Setzt dann beide so erhaltenen Funktionen in die Formel der partiellen Integration ein.
Berechnet nun das übrig gebliebene Integral. Das ist nun die Stammfunktion des Integrals vom Beginn.
Nun soll dieses Integral partiell integriert werden.
Dann stellt fest, welcher der beiden Faktoren aufgeleitet (f´(x)), bzw. abgeleitet werden soll (g(x)). Den, der durch Ableiten vereinfacht wird, solltet ihr dann ableiten (hier x) und den Anderen aufleiten (hier ex).
Führt dann die Auf- bzw. Ableitung dieser beiden Funktionen durch.
Setzt dann beide so erhaltenen Funktionen in die Formel der partiellen Integration ein
Berechnet nun das übrig gebliebene Integral. Das ist nun die Stammfunktion des Integrals vom Beginn.
Das, was dann rauskommt, ist euer Ergebnis des Integrals von oben.
Sollte nach dem partiellen Integrieren das hinten dran entstandene Integral nicht einfach zu berechnen sein, müsst ihr manchmal die partielle Integration für dieses Integral noch einmal durchführen.
Jetzt soll dieses Integral partiell integriert werden.
Jetzt habt ihr das Integral fertig berechnet.
Dann, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
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