Partielle Integration

Die partielle Integration (oder auch Produktintegration) ist der Produktregel beim Ableiten ähnlich, es ist sozusagen die Umkehrung dieser. Sie ist ein Hilfsmittel, um Funktionen integrieren zu können, wenn die Funktion selbst aus zwei Funktionen (z.B. sin(x) und x) besteht, welche multipliziert werden:

f´(x) wird aufgeleitet und zu f(x)
g(x) wird abgeleitet und zu g´(x)

Berechnung

Das Vorgehen bei der partiellen Integration ist Folgendes:

Die Funktion muss aus zwei Faktoren bestehen, ihr betrachtet beide dann als "einzelne Funktionen" (f´(x) und g(x)).
Die partielle Integration ist nur sinnvoll, wenn eines der beiden Produkte leicht aufzuleiten ist und das andere beim Ableiten vereinfacht wird (z.B. x, denn wenn man x ableitet, wird es 1).

Dabei ist das leicht aufzuleitende f´(x) …
… und das, was sich beim Ableiten vereinfacht, g(x).

Leitet das, was leicht zu integrieren ist, auf und das Andere ab.
Setzt das, alles wie oben in der Formel ein und berechnet das letzte Integral, dann seid ihr fertig.

Tipps

Hier zwei Tipps für die partielle Integration:

Wenn ein Faktor x ist, ist dieser immer g(x). Das ist der Teil, der dann abgeleitet wird. Das x fällt nämlich beim Ableiten weg (wird 1, siehe Beispiel 1).
Wenn Cos, Sin oder e^x vorkommt, sind diese (meist) f´(x), da diese leicht zu integrieren sind.

Beispiel 1

Angabe eines Integrals, welches integriert werden soll

Dieses Integral kann zum Beispiel partiell integriert werden.

Schritt 1 bei der partiellen Integration

Stellt zuerst fest, welcher der beiden Faktoren aufgeleitet (f´(x)), bzw. abgeleitet werden soll (g(x)). Der, welcher durch Ableiten vereinfacht wird, sollte abgeleitet werden (hier x) und der Andere aufgeleitet (hier sin(x)).

2. Schritt bei der partiellen Integration, nämlich die Aufleitung und Ableitung der beiden Funktionen

Führt dann die Auf- bzw. Ableitung dieser beiden Funktionen durch.

3. Schritt der Partiellen Integration, nämlich das Einsetzen in die Formel der partiellen Integration

Setzt dann beide so erhaltenen Funktionen in die Formel der partiellen Integration ein.

Berechnet nun das übrig gebliebene Integral. Das ist nun die Stammfunktion des Integrals vom Beginn.

Beispiel 2

Beispiel eines Integrals, welches mit der partiellen Integration berechnet werden muss

Nun soll dieses Integral partiell integriert werden.

Dann stellt fest, welcher der beiden Faktoren aufgeleitet (f´(x)), bzw. abgeleitet werden soll (g(x)). Den, der durch Ableiten vereinfacht wird, solltet ihr dann ableiten (hier x) und den Anderen aufleiten (hier e^x).

Aufleiten und Ableiten beider Funktionen

Führt dann die Auf- bzw. Ableitung dieser beiden Funktionen durch.

Einsetzen der Funktionen in die Formel der partiellen Integration

Setzt dann beide so erhaltenen Funktionen in die Formel der partiellen Integration ein

Berechnet nun das übrig gebliebene Integral. Das ist nun die Stammfunktion des Integrals vom Beginn.

Das, was dann rauskommt, ist euer Ergebnis des Integrals von oben.

Mehrfache Ausführung

Sollte nach dem partiellen Integrieren das hinten dran entstandene Integral nicht einfach zu berechnen sein, müsst ihr manchmal die partielle Integration für dieses Integral noch einmal durchführen.

Beispiel:

Jetzt soll dieses Integral partiell integriert werden.

Ein Integral, welches mit mehrfacher Ausführung der partiellen Integration berechnet werden muss

Stellt zuerst fest, welcher der beiden Faktoren aufgeleitet (f´(x)), bzw. abgeleitet werden soll (g(x)). Den, welcher durch Ableiten vereinfacht wird, solltet ihr dann ableiten (hier x2) und den Anderen aufleiten (hier sin(x)):

Führt dann die Auf- bzw. Ableitung dieser beiden Funktionen durch:

Setzt dann beide so erhaltenen Funktionen in die Formel der partiellen Integration ein:

Einsetzen in die Formel der partiellen Funktion

Jetzt müsst ihr das hintere Integral noch berechnen, aber wie ihr seht, geht es hier nicht so einfach, deshalb müsst ihr noch mal die partielle Integration für dieses Integral anwenden:

Zweites Integral in der partiellen Integration muss wieder mit selber gelöst werden

Also wieder feststellen, welcher Teil aufgeleitet und welcher abgeleitet wird:

Bestimmen beider Funktionen innerhalb des Integrals

Dann auf- und ableiten:

In die Formel für partielle Integration einsetzen:

Einsetzen in die Formel der partiellen Integration und berechnen dieser

Das setzt ihr jetzt für das Integral nach der ersten partiellen Integration ein, dann seid ihr fertig:

Lösung der Beispielaufgabe für mehrfache partielle Integration

Jetzt habt ihr das Integral fertig berechnet.

Wann ist die partielle Integration hilfreich?

Dann, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Wenn die zu integrierende Funktion aus zwei Faktoren besteht und beide für sich eine Funktion bilden (also beide Faktoren ein x enthalten).
Wenn der eine Faktor leicht zu integrieren ist und der Andere beim Ableiten vereinfacht wird, z.B. x wird zu 1.
Wenn durch mehrfaches partielles Integrieren der eine Teil beim Integrieren nie erschwert wird, was zum Beispiel beim Sinus, Cosinus und der e-Funktion der Fall ist und der andere Teil nach mehrfachem Ableiten wegfällt (z.B. x², x³, x⁴…)