Supremum und Infimum

Supremum

 Sei M ⊂ ℝ nicht leer. Eine Zahl s ∈ ℝ heißt Supremum von M, kurz supM, falls gilt:

  1. x ≤ s ∀x ∈ M
  2. s ≤ a für alle oberen Schranken a von M.

Ist s ∈ M, so heißt s Maximum von M (ACHTUNG Maximum ist ein Spezialfall). Es ist also die kleinste obere Schranke von M, was einfach bedeutet, es ist das erste (und somit kleinste) Element was  M einschränkt, so zu sagen eine Grenze zwischen der Menge und allen Elementen die nach oben hin nicht mehr enthalten sind. Man sagt kleinste obere Schranke, da größere Zahlen die nicht in M liegen ja auch Schranken sind, die werden aber nie erreicht. Maximum nennt man es dann, wenn diese Grenze noch selbst in der Menge liegt.

 

Beispiel:

Für M = (0,1)∪[35,100] ist a = 100 Maximum von M, da 100 in der Menge M liegt.

Für M = (0,1)∪[35,100) ist s = 100 Supremum von M, aber nicht Maximum von M, da 100 nicht mehr in der Menge M liegt.

Infimum

Sei M ⊂R nicht leer. m ∈ℝ heißt Infimum von M, falls

  1. m ≤ x ∀x in M,
  2. a ≤ m für alle unteren Schranken a.

Ist m ∈ M, so heißt m Minimum von M. Es ist also genauso, wie das Supremum, nur für die untere Schranke.

 

Beispiel:

Für M = (0,1)∪[35,100] ist m = 0 Infimum von M, aber nicht Minimum von M. (da 0 nicht in M liegt)

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