Aussagen

Allgemein

Eine Aussage ist ein Satz oder eine Behauptung, der man einen eindeutigen Wahrheitswert (wahr oder falsch) zuordnen kann.

Dies sind Aussagen:

  • die Zahl 2 ist größer als die Zahl 1
  • die Zahl 15 ist eine Primzahl
  • das Gleichungssystem 2x + 3y = 5, 4x−7y = 10 hat keine Lösung

Negationen

Dies ist das Gegenteil einer Aussage wie oben beschrieben. Sie ist eine Negative Aussage. Ist A eine Aussage, so gibt es immer auch eine weitere Aussage, die Negation von A (also die Aussage“ A ist nicht richtig”). Man bezeichnet die Negation von A durch das Symbol ¬A. Eine doppelte Negation ergibt die ursprüngliche Aussage: ¬(¬A) = A. Die Negation von A ist dann und nur dann wahr, wenn A falsch ist.

Verknüpfen von Aussagen

Wenn man nun Aussagen hat, lassen sich diese auch verknüpfen und so neue Aussagen bilden. Wie zum Beispiel:

  •  “A und B”, in Zeichen A∧B,
  •  “A oder B”, in Zeichen A∨B, (ACHTUNG: das oder ist nicht "exklusiv", also es kann beides sein oder auch eins von beiden)
  • “Wenn A, dann B”, in Zeichen A⇒ B.

 

Viele mathematische Sätze haben die Form “wenn A, dann B” (‘A⇒ B”). Dabei nennt man A die Voraussetzung und B die Behauptung. Die Umkehrung der Aussage “wenn A, dann B” ist die Aussage “wenn B, dann A”. Zum Beispiel ist die Umkehrung der Aussage “wenn es regnet, ist die Straße nass” die Aussage “wenn die Straße nass ist, regnet es”. Sind sowohl die Aussage “wenn A, dann B” als auch “wenn B, dann A” wahr, so heißen die Aussagen A und B äquivalent. Für diesen Sachverhalt schreibt man “A⇔ B”

 

Widerspruchsbeweise. Die Aussage A⇒ B ist äquivalent zur Aussage (¬B) ⇒ (¬A).

Beispiel: Die Aussage“Wenn es regnet, ist die Straße nass” ist äquivalent zur Aussage  ”Wenn die Straße trocken ist, regnet es nicht”. Sie ist aber nicht äquivalent zur Aussage: “Wenn die Straße nass ist, dann regnet es”!

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