Abstand von einem Punkt und einer Geraden berechnen

Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden ist der kürzeste Abstand der beiden. Also der Abstand, der senkrecht vom Punkt zur Gerade geht. Um dies zu berechnen, erfordert es mehrere Schritte. Ihr geht so vor:

  1. Zunächst braucht ihr eine Hilfsebene. Stellt die Ebenengleichung in Normalenform, für die Ebene die durch den Punkt und die Gerade geht, auf. Dazu setzt ihr den Punkt als Aufpunkt und den Richtungsvektor der Geradengleichung als Normalenvektor der Ebene ein. Also nur einsetzten, nichts rechnen! (Im Beispiel unten könnt ihr euch das mal anschauen)
  2. Wandelt die Ebenengleichung von der Normalenform in die Koordinatenform um. (Einfach ausmultiplizieren) Wie das genau geht, findet ihr HIER.
  3. Setzt die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein (erste Zeile der Geradengleichung für x1, zweite für x2 und dritte für x3) und berechnet das Ergebnis für λ.
  4. Setzt das Ergebnis für λ in die Geradengleichung ein und berechnet den Punkt. Dies ist der Punkt der Geraden, der am nächsten an eurem Punkt ist.
  5. Berechnet den Abstand von diesem zu eurem Punkt. Also den einen Punkt minus den Anderen und davon den Betrag. (HIER wie man Abstände von Punkten berechnet)

 

Beispiel

Seien diese Gerade und dieser Punkt gegeben:

 

Gleichungen einer Gerade und ein Punkt im 3D Raum

 

Zunächst müsst ihr die Ebenengleichung der Ebene, in der die Gerade und der Punkt liegt bestimmen. Dazu setzt ihr den Punkt als Aufpunkt in die Ebenengleichung ein und den Vektor der Geradengleichung als Normalenvektor:

 

Beispiel einer Ebenengleichung

 

Danach bestimmt ihr die Koordinatenform dieser Ebene, wie dies Schritt für Schritt geht, findet ihr HIER. Dann erhaltet ihr dies:

 

Gleichung einer Ebene in Koordinatenform

 

Bestimmt als nächstes x1, x2 und x3 aus der Parameterform der Geradengleichung, also die erste Zeile ist x1, die Zweite x2 und die dritte x3. Allerdings kommt ja in der Ebenengleichung kein x3 vor, weshalb wir nur x1 und x2 benötigen. Diese setzt ihr dann in die Ebenengleichung ein:

 

Beispiel zur Berechnung des Abstands von einer Geraden und einem Punkt

 

Nun müsst ihr den Punkt bestimmen, indem ihr das Ergebnis von darüber in die Geradengleichung einsetzt, so erhaltet ihr den Punkt auf der Geraden der am nächsten an eurem Punkt ist, zu dem ihr den Abstand berechnen sollt:

 

Berechnung des Abstands zischen einer Geraden und einem Punkt im dreidimensionalem Raum

 

Nun müsst ihr nur noch den Abstand dieser beiden Punkte bestimmen (HIER gehts zum Abstand von Punkten). Dazu rechnet ihr den einen Punkt minus den anderen (welchen ihr von welchem abzieht ist egal). Von dem Vektor, den ihr erhaltet, berechnet ihr den Betrag und ihr seid fertig:

 

Lösung des Beispiels zur Berechnung des Abstands von einer Gerade und einem Punkt

Hier seht ihr dieses Beispiel in 3D, der Abstand wurde in rot eingezeichnet:

Kleine Rechenhelfer:

Hier könnt ihr euch den Abstand berechnen (falls nicht angezeigt liegt es an Adblock):

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