Gebrochenrationale Funktionen

Allgemeines

Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, welche aus dem Quotienten zweier Polynome besteht, also aus zwei Funktionen der Form g(x)=a1xn+...+anx0 also zum Beispiel: x3+3x2+5x. Wenn g(x) und h(x) Polynome sind, sieht eine gebrochenrationale Funktion so aus:

Allgemeine Formel einer gebrochenrationalen Funktion

Beispiel:

Beispiel einer gebrochenrationalen Funktion
Graphen von zwei gebrochenrationalen Funktionen

Hier seht ihr diese beiden Funktionen gezeichnet:

Beispiel einer gebrochenrationalen Funktion
Beispiel einer gebrochenrationalen Funktion

Hier könnt ihr euch gebrochenrationale Funktionen zeichnen lassen (falls nicht angezeicht liegt es an AdBlock):

Zähler- und Nennergrad

Mit Zähler- und Nennergrad ist der Grad des Polynoms im Zähler und Nenner gemeint. Dieser ist die höchste Potenz im Zähler bzw. Nenner. Schaut was der höchste Exponent im Nenner bzw. Zähler ist, dies ist dann der Grad des Nenners bzw. Zählers.

 

Beispiele:

Erkennen des Nennergrads und Zählergrads anhand eines Beispiels

Der Zählergrad ist 3 und der Nennergrad ist 1.  


Nennergrad und Zählergrad erklärt anhand eines Beispiels mit farbigen Markierungen.

Der Zählergrad hier ist 4 und der Nennergrad ist 2


Arten von Gebrochenrationalen Funktionen

  • Ist der Zählergrad größer als der Nennergrad, nennt man die Funktion unecht gebrochenrationale Funktion
  • Ist der Nennergrad größer als der Zählergrad, nennt man die Funktion echt gebrochenrationale Funktion.

Asymptoten

Wie ihr die Asymptoten von gebrochenrationalen Funktionen berechnen könnt, findet ihr in einem separaten Artikel:


Definitionslücke

An den Stellen an der der Nenner 0 ist, ist eine Definitionslücke:

  • Dort kann eine hebbare Definitionslücke vorliegen, also eine Definitionslücke, die wegfällt, wenn man den Bruch kürzt, dies kann unter anderem der Fall sein, wenn Nennergrad=Zählergrad.
  • Wenn sie durch kürzen nicht wegfällt, gibt es an der Stelle eine Definitionslücke, dort ist dann eine Asymptote parallel zur y-Achse, an die sich der Graph immer weiter annähert, welche er aber nie berührt. Das nennt man dann Polstelle.

Nullstellen

Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind an den Nullstellen des Zählers, das bedeutet, ihr könnt den Nenner einfach nicht beachten und die Nullstellen des Zählers wie gewohnt berechnen, HIER wird noch mal erklärt wie.

Beispiel:

Beispiel einer gebrochenrationalen Funktion

Es ist die Nullstelle dieser Funktion gesucht.


Rechenweg zur Berechnung einer Nullstelle

Also berechnet ihr die Nullstellen des Zählers.


Koordinaten einer Nullstelle

Also ist die Nullstelle der Funktion bei x=0. 


Hier könnt ihr euch Nullstellen vom Zählerpolynom berechnen lassen:

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