Gebrochenrationale Funktionen

Allgemeines

Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, welche aus dem Quotienten zweier Polynome besteht, also aus zwei Funktionen der Form g(x)=a1xn+...+anx0 also zum Beispiel: x3+3x2+5x. Wenn g(x) und h(x) Polynome sind, sieht eine gebrochenrationale Funktion so aus:

Beispiel:

Beispiele

Orange:

Blau:


Hier könnt ihr euch gebrochenrationale Funktionen zeichnen lassen (falls nicht angezeicht liegt es an AdBlock):

Zähler- und Nennergrad

Mit Zähler- und Nennergrad ist der Grad des Polynoms im Zähler und Nenner gemeint. Dieser ist die höchste Potenz im Zähler bzw. Nenner. Schaut was der höchste Exponent im Nenner bzw. Zähler ist, dies ist dann der Grad des Nenners bzw. Zählers.

Bei unserem Beispiel von ganz oben wäre der Zählergrad 3, da die höchste Potenz x hoch 3 ist. Der Nennergrad wäre dann 2, da die höchste Potenz x hoch 2 ist.

 

Hier ein weiteres Beispiel:

 

Der Zählergrad ist 2, da der höchste Exponent x hoch 2 ist.

Der Nennergrad ist 1, da der höchste Exponent im Nenner 1 ist (x hoch 1).

 

Arten von Gebrochenrationalen Funktionen

  • Ist der Zählergrad größer als der Nennergrad, nennt man die Funktion unecht gebrochenrationale Funktion
  • Ist der Nennergrad größer als der Zählergrad, nennt man die Funktion echt gebrochenrationale Funktion.


Asymptoten

Gebrochenrationale Funktionen können verschiedene Arten von Asymptoten haben. Hier werden alle erklärt:

 

Art der Asymptote: Wann sie vorkommt:
senkrechte Asymptote Eine senkrechte Asymptote liegt an der Stelle vor, an der der Nenner null ist.
schiefe Asymptote Wenn Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad.
waagerechte Asymptote Wenn der Zählergrad gleich oder kleiner ist als der Nennergrad
asymptotische Kurve Wenn der Zählergrad um mehr als 1 größer ist als der Nennergrad (also wenn Zählergrad>Nennergrad+1)

Senkrechte Asymptote

Eine senkrechte Asymptote (also eine Asymptote parallel zur y-Achse) liegt an der Stelle vor, an der der Nenner null ist.

Daher ist die Berechnung leicht, einfach die Nullstelle(n) des Nenners berechnen und an der Stelle ist die senkrechte Asymptote. (könnt ihr euch weiter unten vom Nullstellenrechner berechnen lassen).

 

Beispiel: 

Ihr müsst die Nullstelle des Nenners berechnen, was hier 2 ist. An der Stelle ist dann die senkrechte Asymptote, also x=2.

Schiefe Asymptote

Diese gibt es, wenn Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad.

Um die Asymptote zu berechnen, geht ihr so vor:

  1. Teilt den Zähler durch den Nenner und rechnet dies mithilfe der Polynomdivision (Erklärung dazu HIER) aus.
  2. Lasst dann den Restterm weg (also das, wo Rest durch Nenner steht), das Ergebnis dann ist die schiefe Asymptote.

 

Hier ein Beispiel:

Ihr möchtet die schiefe Asymptote dieser Funktion herausfinden:

Dazu berechnet ihr die Polynomdivision (HIER die genaue Erklärung dazu), also teilt den Zähler und den Nenner durcheinander:

 

Das blau umkreiste ist dann eure schiefe Asymptote und das Orangenfarbende ist der Restterm, den ihr dann weglassen könnt (immer das, wo das x im Nenner steht). Also sieht die Gleichung der schiefen Asymptote dann so aus:

Waagerechte Asymptote

 Eine waagerechte Asymptote liegt in zwei Fällen vor:

  1. Wenn der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad, in dem Fall ist die x-Achse die waagerechte Asymptote
  2. Wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist. Die waagerechte Asymptote lässt sich dann berechnen, indem man die Faktoren vor der höchsten Potenz im Zähler durch den Faktor der höchsten Potenz im Nenner teilt. Also man teilt die Zahlen, die vor dem x mit dem größten Exponenten stehen. An der Stelle ist dann die Asymptote.

 

Beispiel:


Asymptotische Kurve

Diese existiert, wenn der Zählergrad um mehr als 1 größer ist als der Nennergrad (also wenn Zählergrad>Nennergrad+1)

Eine asymptotische Kurve ist eine Asymptote, die keine Gerade, sondern eine Kurve ist, z.B. eine Parabel, die sich der Graph immer weiter annähert.

Um die Asymptote zu berechnen, geht ihr genauso vor wie bei der schiefen Asymptote:

  1. Teilt den Zähler durch den Nenner und rechnet dies mithilfe der Polynomdivision (Erklärung dazu HIER) aus.
  2. Lasst dann den Restterm weg (also das, wo Rest durch Nenner steht), das Ergebnis dann ist die schiefe Asymptote.

 

Beispiel:

siehe schiefe Asymptote, es funktioniert genauso!

Asymptotenrechner

Hier könnt ihr euch Asymptoten berechnen und zeichnen lassen, vom Asymptotenrechner (falls nicht angezeigt, liegt es an AdBlock):




Definitionslücke

  • An den Stellen an der der Nenner 0 ist, ist eine Definitionslücke:
    • Dort kann eine hebbare Definitionslücke vorliegen, also eine Definitionslücke, die wegfällt, wenn man den Bruch kürzt, dies ist unter anderem der Fall, wenn Nennergrad=Zählergrad.
    • wenn dies nicht zutrifft, gibt es an der Stelle eine Definitionslücke, dort eine Asymptote parallel zur y-Achse, an die sich der Graph immer weiter annähert, welche er aber nie berührt. Das nennt man dann Polstelle.

Nullstellen

Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind an den Nullstellen des Zählers, das bedeutet, ihr könnt den Nenner einfach nicht beachten und die Nullstellen des Zählers wie gewohnt berechnen, HIER wird noch mal erklärt wie.

Hier könnt ihr euch Nullstellen vom Zählerpolynom berechnen lassen: