Integration (Aufleitung)

Ihr wisst ja schon wie man ableitet, das Aufleiten ist einfach genau die umgekehrte Richtung. Ihr habt also eine Funktion und wollt wissen, was man ableiten musste, um diese zu erhalten. Die aufgeleitete Funktion heißt dann Stammfunktion (meist mit einem großen F(x) gekennzeichnet). Diese benötigt man, um Flächen unter dem Graphen zu berechnen, also die Fläche zwischen Graph und x-Achse.

Stammfunktion bestimmen

Die Stammfunktion ist die Funktion, die man Ableiten müsste, um auf die gegebene Funktion zu kommen. Es ist also das Gegenteil einer Ableitung. Deshalb müsst ihr, falls die Stammfunktion gefragt ist und ihr sie bestimmt habt, noch ein +c hinten dran schreiben, da ihr ja nicht wisst, ob dort eine Konstante war, denn wenn man nun die Stammfunktion wieder ableitet, fällt das c ja weg (Ableitungsregel).

Möglichkeiten die Stammfunktion zu bestimmen:

  1. Eine Möglichkeit ist sich zu überlegen, wie die ursprüngliche Funktion ausgesehen haben muss, damit diese Funktion beim Ableiten rauskommt. Tipp: je besser ihr ableiten könnt, umso einfacher fällt euch das Aufleiten;).
  2. Partielle Integration (Dazu findet ihr HIER mehr)
  3. Integration durch Substitution
  4. Hier sind die allgemeinen Formeln:

 

Allgemeine Form:


Konstante Funktion:


Potenzfunktion:


e-Funktion:


Logarithmusfunktion:


1/x-Funktion:


Sinusfunktion:


Kosinusfunktion:


Tangensfunktion:




Beispiele

Um die Stammfunktion von f(x)=x2 (und anderen Potenzfunktionen) zu bestimmen, geht ihr so vor:

  1. Erhöht den Exponenten um 1.
  2. Schreibt den Kehrbruch dieses "neuen" Exponenten als Faktor vor das x, also 1 durch den um 1 erhöhten Exponenten.
  3. Fertig das ist die "Aufleitung".

Hier seht ihr, wie die Stammfunktion von f(x)=x berechnet wurde:

  1. Exponent um 1 erhöhen
  2. "Neuen" Exponenten als Kehrbruch vor das x schreiben

Hier wurde die Stammfunktion von f(x)=4x berechnet:

  1. Exponenten um 1 Erhöhen
  2. "Neuen" Exponenten als Kehrbruch vor das x schreiben
  3. Nur noch das, was vor dem x steht verrechnen 

Das berechnen von längeren Stammfunktionen geht genauso. Dabei gilt die Produktregel genauso, wie bei der Ableitung:

  1. Beide Exponenten jeweils um 1 erhöhen
  2. Den jeweils "neuen" Exponenten vor das jeweilige x schreiben

Integral Rechner

Hier könnt ihr euch die Stammfunktion ausrechnen lassen (falls nicht angezeigt, liegt es an Adblock):

Partielle Integration

Die partielle Integration ist eine Möglichkeit schwierige Funktionen zu Integrieren. Es ist so zu sagen die Umkehrung der Produktregel für die Ableitung. Wie das geht findet ihr HIER. So sieht die allgemeine Form der partiellen Integration aus:

Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel beim Ableiten. Hier die allgemeine Form:

Mehr zu Integralen und Co.

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