Stammfunktion

Ihr wisst ja schon, wie man ableitet, das Aufleiten ist einfach genau die umgekehrte Richtung. Ihr habt also eine Funktion und wollt wissen, was man ableiten musste, um diese zu erhalten. Die aufgeleitete Funktion heißt dann Stammfunktion (meist mit einem großen F(x) gekennzeichnet). Diese benötigt man, um Flächen unter dem Graphen zu berechnen, also die Fläche zwischen Graph und x-Achse.

Bestimmen der Stammfunktion

Die Stammfunktion F(x) ist die Funktion, die man ableiten müsste, um auf die gegebene Funktion f(x) zu kommen. Es ist also das Gegenteil einer Ableitung. Deshalb müsst ihr, falls die Stammfunktion gefragt ist und ihr sie bestimmt habt, noch ein +c hinten dran schreiben, da ihr ja nicht wisst, ob dort eine Konstante war, denn wenn man nun die Stammfunktion wieder ableitet, fällt das c ja weg (Ableitungsregel).

Allgemeine Schreibweise

Allgemein wird die Stammfunktion so dargestellt:

Allgemeine Schreibweise der Stammfunktion

Konstante Funktion

Die Stammfunktion einer konstanten Funktion ist die Konstante mal x (und das C nicht vergessen!).

Aufleitung einer konstanten Funktion

Beispiele:

Beispiele für Stammfunktionen von konstanten Funktionen

Potenzfunktion

Bei der Potenzfunktion erhält man die Stammfunktion, indem man den Exponenten um eins erhöht und dann auch als Kehrbruch vor das x schreibt: 

Formel für die Stammfunktion einer Potenzfunktion

Beispiele:

Beispiele zur Berechnung der Stammfunktion einer Potenzfunktion

e-Funktion

Da bei der Ableitung die e-Funktion immer gleich bleibt, ist es bei der Aufleitung genauso: 

Die Stammfunktion der e-Funktion

Logarithmusfunktion

Die Stammfunktion für die Logarithmusfunktion sieht wie folgt aus:

Die Stammfunktion der Logarithmusfunktion

Bruchfunktion

Hat man einen Bruch, mit x im Nenner, dann erhält man den Logarithmus als Stammfunktion (denn wenn man die Logarithmusfunktion ableitet, erhält man einen Bruch mit x im Nenner). Aber aufpassen, in den Logarithmus darf man nur positive Werte für x einsetzen, deshalb die Betragsstriche. 

Die Stammfunktion einer Bruchfunktion

Sinusfunktion

Die Stammfunktion der Sinusfunktion ist die negative Cosinusfunktion.

Die Stammfunktion der Sinusfunktion

Cosinusfunktion

Die Stammfunktion der Cosinusfunktion ist die Sinusfunktion: 

Die Stammfunktion der Cosinusfunktion

Tangensfunktion

Die Stammfunktion des Tangens leitet sich aus seiner Definition ab:

Die Stammfunktion der Tangesfunktion

Integralrechenregeln

Um richtig Aufleiten zu können und Stammfunktionen zu bestimmen, müsst ihr die Rechenregeln für Integrale kennen. Diese findet ihr hier:

  1. Partielle Integration
  2. Integration durch Substitution

Beispiele

Um die Stammfunktion von f(x)=x2 (und anderen Potenzfunktionen) zu bestimmen, geht ihr so vor:

Beispiel für die Integration einer Potenzfunktion
  1. Erhöht den Exponenten um 1.
  2. Schreibt den Kehrbruch dieses "neuen" Exponenten als Faktor vor das x, also 1 durch den um 1 erhöhten Exponenten.
  3. Fertig das ist die "Aufleitung".

Hier seht ihr, wie die Stammfunktion von f(x)=x berechnet wurde:

Beispiel für die Integration einer linearen Funktion
  1. Exponent um 1 erhöhen
  2. "Neuen" Exponenten als Kehrbruch vor das x schreiben

Hier wurde die Stammfunktion von f(x)=4x berechnet:

Beispiel der Berechnung der Stammfunktion einer linearen Funktion
  1. Exponenten um 1 Erhöhen
  2. "Neuen" Exponenten als Kehrbruch vor das x schreiben
  3. Nur noch das, was vor dem x steht verrechnen 

Das berechnen von längeren Stammfunktionen geht genauso. Dabei gilt die Produktregel genauso, wie bei der Ableitung:

Beispiel für die Berechnung der Stammfunktion einer Polynomfunktion
  1. Beide Exponenten jeweils um 1 erhöhen
  2. Den jeweils "neuen" Exponenten vor das jeweilige x schreiben

Arbeitsblätter

Arbeitsblätter zu diesem Thema findet ihr über den Button unten. Dort könnt ihr euch Übungsblätter downloaden. Lösungen zu den Aufgaben findet ihr dort ebenfalls:

Integral Rechner

Hier könnt ihr euch die Stammfunktion ausrechnen lassen (falls nicht angezeigt, liegt es an Adblock):

Mehr zu Integralen und Co.

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