Erwartungswert

Der Erwartungswert gibt den Wert an, welcher im Mittel rauskommt, wenn man etwas häufig durchführt. Also wenn ihr zum Beispiel häufig würfelt, welche Zahl dann durchschnittlich gewürfelt wird, oder wenn ihr Lotto spielt, wie viel Gewinn/Verlust ihr durchschnittlich macht.

Nimmt die Zufallsgröße X die Werte x1, x2, x3,...,xn und die Wahrscheinlichkeiten p1, p2, p3,...,pn an, ist der Erwartungswert:

 

Formel für den Erwartungswert
  • Für die x Werte setzt ihr die Werte ein, die angenommen werden können
    • Beispiel: bei Lotto also, wie viel ihr Gewinnen könnt und wie viel ihr Zahlen müsst (bei dem was ihr Zahlen müsst, müsst ihr ein Minus machen, da es ja kein Gewinn, sondern Verlust ist)
    • Beispiel: bei Würfeln setzt ihr dafür die Augenzahlen ein, also dass man 1 würfelt, 2, 3....)
  • für p die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahlen
    • Beispiel: bei Lotto also, wie hoch die Wahrscheinlichkeiten für die Gewinnklassen sind
    • Beispiel: beim Würfeln also, wie hoch die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Augenzahlen sind, also z.B. wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist eine 1 zu würfeln usw.

Ihr könnt mal beim Beispiel mit Lotto nachgucken, wie es dann ausseiht und bei Würfeln.

Beispiel Würfeln

Der Erwartungswert für 2 gleichzeitig gewürfelte Würfel.

  1. Ihr setzt dafür, wie oben beschreiben, die Werte und dazu gehörigen Wahrscheinlichkeiten ein. Also, dass man die 2 würfelt, ist die Wahrscheinlichkeit 1/36=0,02777...
  2. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, teilt ihr die Anzahl an Möglichkeiten die Summe 2 zu würfeln, durch die Gesamtanzahl an möglichen Ergebnissen. (Die 36 ist die Gesamtzahl an Kombinationen von 2 Würfeln, wie ihr das bestimmt, findet ihr HIER) Schreibt euch am besten immer alle Möglichkeiten eine Zahl zu würfeln auf, so wisst ihr, wie viele es sind. (z.B. könnt ihr die 7 würfeln, wenn ihr 3 und 4 würfelt, 2 und 5, 1 und 6, 4 und 3, 5 und 2 und 6 und 1. Also gibt es 6 Möglichkeiten, deshalb 6/36.)
  3. Dann multipliziert ihr den Wert, also die 2, mit der Wahrscheinlichkeit, also hier 1/36 bzw. 0,02777...
  4. dies macht ihr dann mit allen Werten, also von 2 bis 12 und addiert alles zusammen, wie in der Formel. Was rauskommt ist der Erwartungswert.
  5. Hier ist der Erwartungswert 7, also ist das der Wert, der im Mittel rauskommt, wenn ihr mehrmals würfelt. Die Rechnung ist recht lang und sieht im ganzen so aus:
Beispiel zur Berechnung des Erwartungswertes
Rote Würfel

Übungsaufgabe

Klickt auf Einblenden, um die Lösung zu sehen.

Ihr spielt Glücksrad, wobei das Rad in 10 gleich große Teile unterteilt ist. Bei 2 Feldern gewinnt man 5€ und bei einem gewinnt man 50€. Der Rest sind Nieten. Einmal drehen kostet 5€. Wie hoch ist der Erwartungswert? Einblenden

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