Grenzwerte

Übersicht (klickt auf ein Thema um direkt dort hin zu scrollen): 

  1. Grenzwerte gegen Unendlich
  2. Grenzwerte gegen eine endliche Zahl (z.B. 0)
  3. Grenzwerte berechnen
  4. Grenzwert Rechenregeln

 

Der Grenzwert beschreibt was rauskommt, wenn sich der x-Wert immer mehr einem bestimmten Wert annähert (dieser muss aber nicht erreicht/berührt werden! Z.B. Definitionslücken). Dies kann ein endlicher Wert sein, z.B. 0, oder unendlich.

Hier ist ein Grenzwertrechner, mit dem ihr euch Grenzwerte berechnen könnt (falls nicht angezeigt liegt es an AdBlock):

Für unendlich müsst ihr infinite eingeben!

 

 

 

Grenzwerte im Unendlichen

Grenzwerte im Unendlichen beschreiben, was mit der Funktion passiert, also an welchen Wert sich die Funktion immer mehr annähert, wenn x gegen Unendlich läuft (das heißt, wenn x immer größer wird bis Unendlich). Dabei kann x gegen + und - Unendlich laufen, also immer kleiner oder größer werden. Es sieht dann in mathematischer Schreibweise folgendermaßen aus:

 

Grafisch sieht der Grenzwert dann so aus, wie hier dargestellt für x^2. Wenn man den Grenzwert für +∞ oder -∞ haben möchte, schaut man, was die Funktion "in der Richtung macht". Hier geht sie in beide Richtungen gegen Unendlich.


 

Beispiele:

 

Überlegt euch, was passiert, wenn ihr immer größere Zahlen für x einsetzt. Ihr merkt es wird immer größer, daher geht es auch gegen Unendlich, wenn ihr unendlich große Zahlen einsetzt.

 

 


Genauso hier, schaut was passiert, wenn die Zahlen immer größer werden. Da der größte Exponent im Nenner steht, hat dieser mehr Gewicht, schaut also was passiert, wenn dieser Unendlich wird. Also wird der Nenner immer größer, und zwar viel schneller als der Zähler. Daher geht es gegen Null, denn wenn der Zähler immer schneller wächst, wird der Wert allgemein der Funktion immer kleiner.


Grenzwerte im Endlichen

Grenzwerte im Endlichen sind Werte, die die Funktion annimmt, wenn sie sich einem bestimmten Wert annähert. Dies wird häufig an Definitionslücken verwendet, um zu prüfen, was in der Nähe dieser passiert. Dabei kann man sich dem Wert von links oder rechts annähern, also von der negativen Seite an die Definitionslücke annähern oder von der positiven. Das wird dann so notiert:

 

Grafisch sieht das Ganze so aus. Also man guckt, wohin die Funktion "geht", wenn man sich einmal von der positiven Seite an eine Zahl nähert und einmal von der negativen. Wie ihr seht, gibt das 2 verschiedene Ergebnisse.


 

Beispele:

 

In beiden Fällen überlegt ihr euch was passiert, wenn die Zahl immer näher an die Null kommt, also immer kleiner wird, nur einmal von der positiven Seite, also sehr kleine positive Zahlen, und einmal von der negativen Seite, also immer kleinere negative Zahlen. Wird der Nenner im Bruch immer kleiner, wird ja der Bruch insgesamt immer größer. Also geht es gegen Unendlich. Nur einmal + Unendlich, da positive kleine Zahlen eingesetzt werden, und einmal - Unendlich, da immer kleinere negative Zahlen eingesetzt werden und daher der Bruch negativ wird.


Empfohlenes Video



Grenzwerte berechnen

Um einen Grenzwert zu berechnen, muss man sich überlegen was mit der Funktion passiert, wenn man Werte einsetzt, die immer näher dem untersuchten Wert sind, also dem Wert, gegen den das x läuft. Dazu könnt ihr euch paar Werte ausrechnen, die immer näher dem gesuchten Wert kommen.

 

Tipps für Grenzwerte gegen Unendlich:

  1. Schaut euch an, wo das x steht, z.B. im Exponenten, Nenner, Basis.... und guckt was passiert, wenn x immer größer/kleiner wird.
  2. Sind mehrere x da, schaut euch das an, welches am stärksten wächst, also jenes, welches den meisten Einfluss hat auf den Grenzwert. z.B. hat das x mit einem höheren Exponenten (höherem Grad des Polynoms) mehr Einfluss, als das mit einem kleineren, aber noch mehr Einfluss hat das x, das selbst im Exponenten steht.
  3. Guckt was mit diesem x passiert, wenn es sich dem Grenzwert annähert. Dies ist dann meist der Grenzwert.
  4. Klammert einfach mal die höchste Potenz aus, denn überall, wo die Potenz dann im Nenner steht wird es 0 und so seht ihr dann schnell was raus kommt ;)

 

Tipps für Grenzwerte gegen 0 (oder andere Zahlen):

  1. Setzt für jedes x=0 ein und schaut, was rauskommt, dies ist meist bereits der Grenzwert.
  2. Habt ihr aber eine 0 im Nenner (was man ja nicht darf), geht es gegen Unendlich, da der Nenner ja immer kleiner wird. Habt ihr aber eine 0 im Zähler, wenn ihr für x=0 einsetzt und im Nenner ebenfalls, kommt es darauf an ob der Zähler- oder Nennergrad größer ist, bzw. wo das x mit dem größeren Einfluss ist (also jenes welches am schnellsten fällt), dieser "gewinnt" dann, also wenn Zählergrad größer ist, geht es gegen 0 und wenn Nennergrad größer gegen unendlich.
  3. Danach müsst ihr nur noch gucken, falls nicht 0 raus kommt, ob es einen Unterschied im Vorzeichen gibt, wenn der Grenzwert vom negativen oder positiven kommt.

Hier das Vorgehen bei bestimmten Funktionsarten:

Grenzwerte für bestimmte Funktionen:

Potenzfunktionen

Der Grenzwert einer Potenzfunktion ist gegeben durch:

  • +∞  für n>0
  • 1      für n=0
  • 0      für n<0
  • +∞  für gerade n>0
  • -∞   für ungerade n>0
  • 1     für n=0
  • 0     für n<0

Exponentialfunktionen

Der Grenzwert der Exponentialfunktionen ist gegeben durch:

  • +∞ für a>1
  • 0     für a zwischen 0 und 1
  • --    für a kleiner 0 gibt es keinen
  • 0     für a>1
  • +∞ für a zwischen 0 und 1
  • --    für a < 0 gibt es keinen



Gebrochenrationale Funktionen

Tipp: für die Berechnung von Grenzwerten von gebrochenrationalen Funktionen schaut euch erst mal nur die höchste Potenz an und den Faktor (also die Zahl) der direkt davor steht, mehr braucht euch nicht zu kümmern. "Die höchste Potenz gewinnt" ist hierbei die Faustregel, denn die wächst schneller und dann wisst ihr, gegen was die Funktion geht, ist die höchste Potenz im Zähler geht es gegen unendlich und ist sie im Nenner gegen 0. Dann müsst ihr euch nur noch angucken, welches Vorzeichen rauskommt und ihr seid fertig ;). Und sind die Potenzen im Nenner und Zähler gleich, teilt ihr die Zahl vor der höchsten Potenz im Zähler durch die Zahl vor der größten Potenz im Nenner, das ist dann der Grenzwert.

Für Folgendes gilt:

  • n ist der höchste Exponent im Zähler
  • m ist der höchste Exponent im Nenner
  • 0              für n<m
  • an÷bm    für n=m

  • +∞          für n>m und an÷bm >0

  • -∞           für n>m und an÷bm <0

  • 0              für n<m
  • an÷bm     für n=m
  • wenn an und bm gerade oder beide ungerade sind:
    • +∞          für n>m und an÷bm >0
    • -∞           für n>m und an÷bm <0
  • wenn von an und bm eines gerade und das andere ungerade ist:
    • -∞           für n>m und an÷bm >0
    • +∞          für n>m und an÷bm <0

Grenzwert Rechenregeln

Hier die wichtigsten Rechenregeln für Grenzwerte. Wenn zwei Grenzwerte gegeben sind:


dann geltende folgende Rechenregeln: 

Faktorregel

Summenregel

Differenzenregel

Produktregel

Quotientenregel

Empfohlenes Video