Nullstellen

Nullstellen sind die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse oder anders ausgedrückt die Werte für die eine Funktion 0 ist. Grafisch findet man also die Nullstelle dann dort (siehe Bild).

Veranschaulichung der Nullstelle durch einen Graphen im Koordinatensystem gezeichnet mit Markierung der Nullstelle

Nullstellen berechnen:

Also berechnet man die Nullstellen, indem man...

  1. ... y=0 setzt
  2. ... und dann die Gleichung nach x löst (also x auf eine Seite bringen und den Rest auf die andere).

Das, was dabei raus kommt, ist dann die Nullstelle.

Dies geht vor allem bei linearen Funktionen ganz leicht. Für quadratische Funktionen gibt es die sogenannte Mitternachtsfomrel, welche weiter unten erklärt wird.

Beispiel

f: y=2x+1

Habt ihr eine Funktion gegeben, wie zum Beispiel diese.


0=2x+1  |-1

-1=2x   |:2

-0,5=x        

Ihr müsst zunächst 0 für y einsetzen und dies dann nach x auflösen, das macht ihr mit der Äquivalenzumformung.


N(-0,5|0)

Das ist dann die x-Koordinate euer Nullstelle und die y-Koordinate ist ja bei einer Nullstelle immer 0. Also ist die Nullstelle an dem Ort.


Alternativ könnt ihr es auch zeichnen und ablesen:

Lineare Funktion mit markierter Nullstelle

Beispiel (quadratische Funktion)

Eine quadratische Funktion

Es soll die Nullstellen dieser Funktion berechnet werden. 


Nullstelle einer quadratischen Funktion berechnen

Setzt y=0. 


Einsetzen einer quadratischen Funktion in die Mitternachtsformel

Berechnet nun das x. Bei quadratischen Funktionen geht das nur mit der Mitternachtsformel.


Lösung des Beispiels für Nullstellen bei quadratischen Funktionen

Also haben die Nullstellen diese Koordinaten. 


Gezeichnet sieht diese Funktion so aus:

Beispiel von Nullstellen bei quadratischen Funktionen anhand einer gezeichneten Funktion mit markierten Nullstellen

Weitere Beispiele

Hier findet ihr Übungsaufgaben, bzw. weitere Beispiele mit Lösungsweg, klickt auf Einblenden, um die Lösung zu sehen:

Was ist die Nullstelle von f(x)=x+1? Einblenden
Was ist die Nullstelle von f(x)=x2-9? Einblenden
Was ist die Nullstelle von f(x)=-4x+8? Einblenden
Was ist die Nullstelle von f(x)=x3-27? Einblenden

Tipps für verschiedene Funktionstypen

Nullstellenrechner

Hier ein kleiner Rechner mit dem ihr euch Nullstellen berechnen lassen könnt um so eure Übungen zu überprüfen, mit Grafik und Lösungshinweisen (falls es nicht angezeigt wird liegt es an AdBlocker):

Mitternachtsformel zum Lösen von quadratischen Gleichungssystemen

Die Mitternachtsformel ist eine Formel um quadratische Gleichungen der Form 0=ax2+bx+c lösen zu können. Wenn ihr also eine Gleichung habt die so aussieht, dann erhaltet ihr die Nullstellen in dem ihr die Zahlen a, b und c in folgende Formel einsetzt:

Mitternachtsformel zum Lösen von quadratischen Gleichungen

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