Lagebeziehungen von Geraden

Möchtet ihr die gegenseitige Lage von Geraden im dreidimensionalen Raum herausfinden, gibt es vier Möglichkeiten, wie sie liegen:

  • Identisch
    • dann sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander (sie sind linear abhängig)
    • beide Punkte in den Geradengleichungen liegen auch auf der jeweils anderen Geraden
  • echt parallel
    • Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander (linear abhängig)
    • der Punkt der jeweils anderen Geradengleichung liegt nicht auf der Geraden
  • schneiden sich
    • Richtungsvektoren sind nicht Vielfache voneinander (nicht linear abhängig)
    • man kann die Geradengleichungen gleichsetzten und lösen
  • Windschief
    • Richtungsvektoren sind nicht Vielfache voneinander (nicht linear abhängig)
    • man kann die Geradengleichungen nicht lösen, wenn man sie gleichsetzt

Schritt für Schritt Vorgehen:

Sollt ihr nun rausfinden, wie die Geraden zueinander liegen, geht ihr so vor:

  • 1. Schaut, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, also kann man den einen Richtungsvektor mal irgendeine Zahl nehmen, sodass der andere Richtungsvektor raus kommt.
  • 2.1 Wenn dies der Fall ist, müsst ihr Prüfen, ob man einen Punkt der einen Geraden in die andere Geradengleichung einsetzen und diese Gleichung dann lösen kann (ihr könnt hierfür einfach den Punkt aus der Geradengleichung nehmen).
    • Wenn dies geht, dann sind sie identisch, da dann der Punkt auf beiden Geraden liegt und sie auch dieselbe Richtung haben
    • wenn nicht dann sind sie echt parallel! (siehe Beispiel 1)
  • 2.2 Wenn dies nicht der Fall ist, müsst ihr als nächstes die Geradengleichungen gleichsetzten und versuchen zu lösen. (HIER geht´s zum Thema: Lösen von Gleichungssystemen)
    • Wenn man das dann lösen kann, schneiden sich die Geraden an der Stelle, die ihr so berechnet habt (die Unbekannten die ihr so ausgerechnet habt in die Gleichung einsetzten, dann kommt euer Schnittpunkt raus)
    • Wenn man dies nicht lösen kann, sind sie windschief. (siehe Beispiel 2)

 

Beispiel 1

Beispiel für zwei Gleichungen von Geraden

 

Habt ihr nun diese zwei Geradengleichungen, geht ihr nach dem Muster wie oben vor, also:

 

1. Schaut, ob die Richtungsvektoren Vielfache sind. Hier sind sie es, da wenn man den Richtungsvektor von h mal zwei nehmt, kommt der von g raus. Daher macht ihr mit Schritt 2.1 weiter.

 

2.1 Da ihr das nun wisst, müsst ihr nur noch rausfinden, ob sie identisch oder parallel sind, das macht ihr, indem ihr einen Punkt der einen Gleichung mit der anderen Geradengleichung gleichsetzt und dann jede Zeile einzeln löst:

 

Ansatz zur Berechnung der Lage von zwei Geraden

 

3. Kommt überall dasselbe für λ oder μ raus, dann sind sie identisch, wenn es wie hier aber unterschiedliche sind, sind sie echt parallel.

 

Hier könnt ihr euch mal diese beiden Geraden in 3D angucken:

Beispiel 2

Beispiele für zwei Geraden im 3D Raum

 

Ihr habt diese zwei Gleichungen und "möchtet" wissen, wie sie zueinander liegen, also wie oben vorgehen:

 

1. Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Hier in diesem Fall nicht, man kann den Richtungsvektor von g nicht mal irgendeine Zahl nehmen, sodass der Richtungsvektor von h raus kommt. Daher macht ihr mit Schritt 2.2 von oben weiter:

 

2.2 Setzt die Gleichungen gleich. Betrachtet dann alle Zeilen einzeln voneinander und löst das Gleichungssystem (HIER noch eine Wiederholung zu Gleichungssysteme lösen). Dazu braucht ihr nur 2 von den 3 Zeilen, da es ja 2 Unbekannte sind:

Bestimmt also zunächst die eine Unbekannte (Einsetzferfahren, Additionsverfahren...):

 

Ansatz zur Berechnung der Lagebeziehung von zwei Geraden im 3D Raum

 

und setzt diese dann in die andere Gleichung ein, um die 2. Unbekannte herauszufinden (hier haben wir es in die 1. Zeile eingesetzt):

 

Rechenschritt zur Berechnung der Lagebeziehung

 

Wenn ihr dies gemacht habt, setzt die beiden Unbekannten, die ihr mittlerweile kennt, in die Zeile ein die ihr bisher nicht benutzt habt. Ist diese Gleichung dann richtig, dann haben die Geraden einen Schnittpunkt an der Stelle mit den von euch berechneten Unbekannten (setzt einfach in eine Geradengleichung die Unbekannte ein und ihr erhaltet euren Schnittpunkt), wenn allerdings wie hier die Gleichung nicht aufgeht, sind sie windschief (hier wurden die Unbekannten in die 3. Zeile eingesetzt):

 

Lösung der Beispielaufgabe zur Berechnung der Lage von zwei Geraden

 

Hier könnt ihr euch die Lage dieser beiden Geraden mal genauer anschauen:

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