Ringe

Diese Algebraische Struktur hat nicht nur eine Verknüpfung (wie Gruppen), sondern gleich 2!

 

Definition:

Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Verknüpfungen “+” und “·”, so dass gilt:

  •  “·” ist eine assoziative Verknüpfung auf ℝ
  • es gilt das Distributivgesetz: für alle a,b,c∈ℝ gilt: a·(b+c) = (a·b) + (a·c) = (b+c)·a = (b·a) + (c·a).

 

Beispiele:

  • ℤ mit der gewöhnlichen Addition “+” und der gewöhnlichen Multiplikation “·” ist ein Ring.
  • ℕ mit “+” und “·” ist kein Ring, da ℕ mit “+” keine Gruppe ist.
  • ℚ oder ℝ mit “+” und “·” sind Ringe. 
  • Der Nullring ist der Ring, der nur aus der Null besteht (in diesem Fall gibt es nur jeweils eine Wahl für die Verknüpfungen “+” und “·”).

 

Bemerkung:

  • Ist R ein Ring, so nennt man die Verknüpfung ”+” Addition und die Verknüpfung “·” Multiplikation.
  • Das bzgl. der Addition neutrale Element wird mit 0 bezeichnet, und das zu a bzgl. der Addition inverse Element mit −a.
  • Ein Ring heißt kommutativ, wenn auch die Verknüpfung “·” kommutativ ist. 
  • Ein Ring heißt unitär (oder Ring mit Eins), falls es auch bzgl. der Multiplikation ein neutrales Element gibt. Dieses wird mit “1” bezeichnet. 
  • Wenn man eine Rechnung der Form a·b+c·e+ f+g·h hat, weis man nicht, in welcher Reihenfolge man die Verknüpfungen ausrechnen soll. Dafür gibt es die berühmt berüchtigte Regel "Punkt vor Strich", der Ausdruck a·b+c soll also (a·b)+c bedeuten.

 

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