Ringe in der Algebra

Diese Algebraische Struktur hat nicht nur eine Verknüpfung (wie Gruppen), sondern gleich 2!

Definition:

Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Verknüpfungen “+” und “·”, so dass gilt:

• (ℝ,+) ist eine abelsche Gruppe,

•  “·” ist eine assoziative Verknüpfung auf ℝ

• es gilt das Distributivgesetz: für alle a,b,c∈ℝ gilt: a·(b+c) = (a·b) + (a·c) = (b+c)·a = (b·a) + (c·a).

Beispiele:

• ℤ mit der gewöhnlichen Addition “+” und der gewöhnlichen Multiplikation “·” ist ein Ring.

• ℕ mit “+” und “·” ist kein Ring, da ℕ mit “+” keine Gruppe ist.

• ℚ oder ℝ mit “+” und “·” sind Ringe. 

• Der Nullring ist der Ring, der nur aus der Null besteht (in diesem Fall gibt es nur jeweils eine Wahl für die Verknüpfungen “+” und “·”).

Bemerkung:

• Ist R ein Ring, so nennt man die Verknüpfung ”+” Addition und die Verknüpfung “·” Multiplikation.

• Das bzgl. der Addition neutrale Element wird mit 0 bezeichnet, und das zu a bzgl. der Addition inverse Element mit −a.

• Ein Ring heißt kommutativ, wenn auch die Verknüpfung “·” kommutativ ist. 

• Ein Ring heißt unitär (oder Ring mit Eins), falls es auch bzgl. der Multiplikation ein neutrales Element gibt. Dieses wird mit “1” bezeichnet. 

• Wenn man eine Rechnung der Form a·b+c·e+ f+g·h hat, weis man nicht, in welcher Reihenfolge man die Verknüpfungen ausrechnen soll. Dafür gibt es die berühmt berüchtigte Regel "Punkt vor Strich", der Ausdruck a·b+c soll also (a·b)+c bedeuten.