Monotonie

Die Monotonie sagt aus, in welchen Bereichen eine Funktion steigt oder fällt.

  • Monoton steigend bedeutet, dass die Funktion steigt, also die y-Werte immer größer werden für größere x-Werte.
  • Monoton fallend bedeutet, dass die Funktion fällt, also die y-Werte immer kleiner werden für größere x-Werte.

Ein Abschnitt einer Funktion ist...:

  • monoton steigend, wenn in diesem Bereich
    • f´(x)≥0 ist.
  • monoton fallend, wenn in diesem Bereich
    • f´(x)≤0 ist.

Wichtig: Nach einer Extremstelle verändert sich die Monotonie!


Monotonie bestimmen

Um das Monotonieverhalten zu bestimmen, geht ihr wie folgt vor:

  1. Berechnet die 1. Ableitung
  2. Bestimmt die Nullstellen der Ableitung, das sind eure Extremstellen (das sind die Grenzen, in der die Monotonie verläuft, sie markieren die Bereiche, in denen die Funktion monoton steigt, bzw. fällt. Nach einer Extremstelle ändert sich (fast immer) die Monotonie, davor steigt sie zum Beispiel, aber nach einem Hochpunkt fällt sie wieder)
  3. Überlegt euch, ob die Funktion vor der Extremstelle fällt oder steigt, dies könnt ihr auf verschiedene weißen machen:
    1. Skizze machen und überlegen, wo die Funktion fällt oder steigt
    2. oder ihr setzt in die 1. Ableitung einen Punkt vor der Extremstelle und einen Punkt nach der Extremstelle ein, ist das Ergebnis negativ, ist der Bereich monoton fallend, umgekehrt monoton steigend.
  4. Fällt die Funktion vor der Extremstelle, ist sie bis dort hin monoton fallend. Steigt die Funktion vor der Extremstelle, ist sie bis dort hin monoton steigend.
  5. Fällt die Funktion nach der Extremstelle, ist sie ab dort monoton fallend. Steigt die Funktion nach der Extremstelle, ist sie ab dort monoton steigend.

Man schreibt dann: die Funktion ist von .... bis .... monoton steigend/fallend.

Beispiel 1

Hier ein Beispiel, wie man die Monotonie dieser Funktion bestimmt:

 

f(x)=x2+2

 

1. Zunächst müsst ihr die 1. Ableitung bestimmen:

 

f´(x)=2x

 

2. Danach bestimmt ihr die Nullstelle(n) der Funktion, an den Stellen sind die Extremstellen der Funktion, denn nach einer Extremstelle ändert sich (fast) immer die Monotonie:

 

0=2x

-> x=0

 

3. Jetzt wisst ihr, dass sich wohl die Monotonie nach x=0 ändert, um nun zu bestimmen, ob die Funktion davor monoton steigend oder fallend ist, gibt es 3 Möglichkeiten:

    • Ihr macht euch eine Skizze und schaut, ob die Funktion davor steigt oder fällt, dann wisst ihr, ob es monoton steigend oder fallend ist.
    • Ihr wisst, wie die Funktion aussieht und könnt es so bestimmen
    • setzt in die 1. Ableitung einen Punkt vor der Extremstelle und einen Punkt nach der Extremstelle ein, in unserem Beispiel -1 und 1:

f´(x)=2x

-> 2·(-1)=-2

-> 2·1=2

  • Der Bereich in dem die 1. Ableitung negativ ist, hier der Bereich vor der Extremstelle, ist monoton fallend. Der Bereich in dem die 1. Ableitung positiv ist, hier der Bereich nach der Extremstelle, ist monoton steigend.
  • Daraus folgt, die Funktion ist bis x=0 monoton fallend und nach x=0 monoton steigend.

Hier seht ihr die Funktion. Wie ihr seht, fällt die Funktion monoton bis zur Stelle x=0 und steigt danach monoton.




Beispiel 2

Jetzt bestimmen wir die Monotonie dieser Funktion:

 

f(x)=x3+3x2 

 

1. Als erstes müsst ihr die Ableitung bilden:

 

f´(x)=3x2+6x

 

2. Danach die Nullstellen der Ableitung bestimmen:

 

0=3x2+6x

-> x1=-2

-> x2=0

 

-> Also ändert sich die Monotonie bei -2 und bei 0. 

 

4. Jetzt guckt ihr, ob die Funktion davor steigt oder fällt, das geht mit den oben beschriebenen Möglichkeiten, wir setzten hier einen Punkt vor -2, zwischen -2 und 0, und einen nach 0 in die Ableitung ein. Ist der negativ ist der jeweilige Bereich monoton steigend, ist der Wert positiv, ist der Bereich monoton fallend:

  • 3·(-3)2+6·(-3)=9    -> Bis x=-2 monton steigend
  • 3·(-1)2+6·(-1)=-3   -> von x=-2 bis x=0 monoton fallend
  • 3·12+6·1=9    -> ab x=0 monoton steigend

Hier seht ihr diese Funktion mit beiden Wendepunkten. Jetzt erkennt ihr auch eindeutig, dass die Funktion erst steigt, dann fällt und danach wieder steigt.


Übungsaufgabe / Beispiel 3

Hier habt ihr eine Aufgabe, die ihr auch als Übung lösen könnt, oder einfach ein weiteres Beispiel. Klickt auf Einblenden, um die Lösung zu sehen:

Monotonie von 3x2-6x Einblenden

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