Logarithmusfunktion
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und sieht folgendermaßen aus (HIER geht´s zum Artikel über den Logarithmus):
y=logax
- Ist a zwischen 0 und 1, ist es eine fallende Kurve
- Ist a größer als 1, so ist es eine steigende Kurve
Hier seht ihr zwei Logarithmusfunktionen, dabei ist die Grüne y=log2x, die rote ist y=log5x und die blaue ist y=log0,5x.
Wie ihr seht, steigt der Graph bei größerer Basis langsamer als mit einer kleineren. Auch gut zu erkennen ist, dass die Graphen nicht im negativen liegen.
Dabei dürfen für a alle positiven Zahlen außer die 1 eingesetzt werden und für x alle positiven Zahlen. Wieso das so ist, erkennt man besser daran, wie der Logarithmus definiert ist (HIER mehr zum Logarithmus):
y=logax ⇒ ay=x
Wie ihr seht, könnt ihr mit dem Logarithmus ausrechnen "a hoch was ergibt x?".
Hier könnt ihr euch mal verschiedene Graphen zeichnen lassen, lasst euch nicht verwirren, dass es auch im negativen Bereich was anzeigt, das liegt daran, dass mit komplexen Zahlen gerechnet wird, das braucht ihr aber erst im Studium (falls nicht angezeigt liegt es am AdBlocker):
Weitere Eigenschaften
- y-Achse ist eine senkrechte Asymptote
-
Gemeinsamer Punkt bei (1|0)
Definitions- und Wertemenge
Mehr zu dem Thema HIER
- Definitionsbereich: D=ℝ+
- Wertemenge: W=ℝ
Nullstelle
Mehr zu dem Thema HIER.
- Die Nullstelle der Logarithmusfunktion ist, falls sie nicht verschoben wurde, bei x=1.
Monotonie
Mehr zu Monotonie HIER.
- die Logarithmusfunktion ist für 0<a<1 streng monoton fallend
- und für a>1 streng monoton steigend.
Grenzwerte
Mehr zu Grenzwerten HIER.
- Für 0<a<1, sind die Grenzwerte:
-
- für x gegen 0 -> +Unendlich
- für x gegen +Unendlich -> -Unendlich
- Für 0<a<1, sind die Grenzwerte:
-
- für x gegen 0 -> -Unendlich
- für x gegen +Unendlich -> +Unendlich
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