Quadratische Funktionen sind Funktionen, bei denen das x quadriert wird. Dabei können sie zwei Formen haben:
Sie beschreiben Parabeln und heißen quadratisch, da das x quadriert wird.
Die Scheitelform eignet sich am besten dafür, um zu erkennen, wo die Parabel liegt, sie ist gegeben durch:
y=a(x-b)2+c
Der Streckungsfaktor a:
Verschiebung in x-Richtung durch b:
Verschiebung in y-Richtung durch c:
Wie man Nullstellen bestimmt und Übungsblätter zu diesem Thema findet ihr hier:
Der Scheitelpunkt ist der höchste/tiefste Punkt einer Parabel. Um den Scheitelpunkt zu bestimmen, müsst ihr die Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform umwandeln, falls sie noch nicht in dieser Form gegeben ist. Dann könnt ihr den Scheitelpunkt einfach ablesen, nämlich ist bei y=a(x-b)2+c ...
Also liegt der Scheitelpunkt dann bei S(bIc). Also geben einem b und c dann gleich den Scheitel an.
Nur was, wenn die Funktion in der allgemeinen Form ist? Dann muss man die quadratische Ergänzung (HIER mehr dazu) durchführen und erhält so dann die Scheitelform.
Beispiele:
Hier sind Übungsaufgaben, bzw. Beispiele, mit Lösungen. Klickt auf Einblenden für den Lösungsweg:
Wo liegt der Scheitelpunkt bei der Funktion f(x)=2(x-2)2-2 | Einblenden | |
Lösung: Der Scheitelpunkt liegt beim Punkt (2|-2). |
Wo liegt der Scheitelpunkt bei der Funktion f(x)=3(x+1)2-4 | Einblenden | |
Lösung: Der Scheitelpunkt liegt beim Punkt (-1|-4). |
Die Scheitelpunktform bestimmt ihr, indem ihr die quadratische Ergänzung durchfürht. Wie dies geht, findet ihr HIER:
Wie man eine Umkehrfunktion bestimmt, findet ihr HIER. Die Umkehrfunktion der quadratischen Funktion ist die Wurzelfunktion, welche im nächsten Kapitel behandelt wird. Wichtig zur Bestimmung der Umkehrfunktion ist die Äqivalenzumformung.
Die quadratische Funktion ist bis zu x=0 streng monoton fallend und danach streng monoton steigend. Mehr zu dem Thema HIER.
Die Grenzwerte für + Unendlich und - Unendlich sind in beiden Fällen + Unendlich. Mehr zu dem Thema HIER.
Die Extremstelle der quadratischen Funktion ist der Scheitel und daher immer der auch der Scheitelpunkt. Ist a positiv, ist es ein Tiefpunkt, ist a negativ, ist es ein Hochpunkt
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