Grenzwerte von Reihen Berechnen

Geometrische Reihe

Eine einfache Methode den Grenzwert einer Reihe zu bestimmen, in der ein Exponent gegen unendlich läuft, ist die geometrische Reihe. Bei einer geometrischen Reihe ist der Quotient q zweier benachbarter Folgeglieder konstant.  Das a steht einfach für irgendeinen Rest, der konstant ist, also beispielsweise eine Zahl wie 1. Für |q|<1 gilt

 

\sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k = \frac{a_0}{1-q}

 

Bei Startwert 1 und einem Quotienten von 1/2 ergibt sich die geometrische Reihe: 1, 1 + 1/2, 1 + 1/2 + 1/4, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8, …, also 1, 3/2, 7/4, 15/8, … mit dem Grenzwert \tfrac{1}{1-1/2} = 2. So lässt sich der Grenzwert einer Reihe leicht bestimmen.

Allgemeine Tipps

Wenn ihr eine Funktion habt in der Exponenten vorkommen, klammert immer den größten Exponenten aus! Meist erkennt man dann den Grenzwert recht leicht.

Hier noch die Wichtigsten Grenzwerte:

  • \lim_{n\rightarrow \infty} c = c für alle c \in \R
  • \lim_{n\rightarrow \infty} \tfrac 1n = 0
  • \lim_{n\rightarrow \infty} \tfrac 1{n^k} = 0 für alle k \in \N
  • {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\tfrac {1}{\sqrt[{k}]{n}}}=0} für alle k \in \N
  • \lim_{n\rightarrow \infty} q^n = 0 für alle q \in \R mit |q|<1
  • \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{c} = 1 für alle c > 0
  • \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} = 1
  • \lim_{n\rightarrow \infty} \tfrac{n^k}{z^n} = 0 für alle k \in \N und z \in \R mit |z| > 1
  • {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }n^{k}q^{n}=0} für alle k \in \N und q \in \R mit |q|<1
  • {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\tfrac {z^{n}}{n!}}=0} für alle z \in \R mit |z| > 1
  • {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\tfrac {n!}{n^{n}}}=0}
  • {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}=e}

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Hilfe bei Matheproblemen - die fb Gruppe

Es gibt nun eine Facebook-Gruppe von Studimup, auf welcher ihr Hilfe bei Matheproblemen bekommt. Dies funktioniert so:

  1. Ihr stellt eure Frage als Post in die Gruppe.
  2. Wenn jemand die Antwort weiß, kann er sie in den Kommentaren beantworten. 

Wenn ihr also mal Schwierigkeiten bei einer bestimmten Aufgabe oder einem Thema habt, dann könnt ihr eure Frage in die Gruppe posten. Ebenso könnt ihr anderen Personen bei ihren Problemen helfen und so selbst das Thema üben und vertiefen. Mit der Gruppe soll es möglich sein, möglichst schnell antworten auf ein Problem zu bekommen (z.B. bei einer Hausaufgabe). Je mehr Leute mitmachen, desto besser funktioniert dieses System. 

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