Definitions- und Wertemenge

Definitionsmenge

Die Definitionsmenge gibt an, welche Werte (Zahlen) man in die Funktion einsetzen darf. Das ist dann die Definitionsmenge, alles was man in die Funktion für x einsetzten darf/kann.

Alltagsbeispiel:

Es wird der Anzahl von Wassermelonenstücken (x, Definitionsmenge) ein Preis zugeordnet (y, Wertemenge). Dabei kostet ein Wassermelonenstück 2 Euro.

 

Das, was man einsetzen kann, ist dann die Anzahl an Wassermelonenstücken, also ist das die Definitionsmenge (also das, was man für das x einsetzen kann, bei einer Funktion):

Wenn im Laden nur noch 5 Stücke Wassermelonen da sind, dann ist die Definitionsmenge D={1;2;3;4;5}. Man kann ja nicht mehr kaufen als 5 Stück. Wie ihr seht, bestimmt die Definitionsmenge was man alles für x, einsetzen darf, also in dem Fall, wie viel man kaufen kann. 

Die Funktionsgleichung dieses Beispiels wäre: y=2x

Bei Funktionen:

Bei Funktionen ist es ähnlich wie beim Beispiel von oben, nur dass ihr gucken müsst, was man alles einsetzen darf. Wenn man beispielsweise eine Funktion mit einem Bruch hat, in dem das x unten steht, dürfte die 0 nicht in der Definitionsmenge sein, da man schließlich nicht durch 0 teilen darf. Bei Wurzelfunktionen dürften nur positive Zahlen stehen, da man ja nicht die Wurzel einer negativen Zahl ziehen darf (im Studium geht es später, aber für euch beim Abi geht es nicht ;)).

  • Es darf keine 0 um Nenner stehen
  • Es dürfen keine Minuszahlen unter der Wurzel stehen

Beispiele

Die Definitionsmenge dieser Funktion bestimmt ihr, indem ihr überlegt, was ihr alles für x einsetzen dürft. Hier dürft ihr ja alles einsetzen außer die Null, denn man darf ja nicht durch 0 Teilen!


Geht genauso vor wie oben, welche Zahlen dürft ihr für x einsetzen? Alle außer -1, da ihr schließlich nicht durch 0 teilen dürft.


Hie dürft ihr ja alle positiven Zahlen und die Null einsetzen, negative ja nicht, da man davon nicht die Wurzel ziehen kann.


Übungsaufgaben:

Was ist die Definitionsmenge von f(x)=2x-1? Einblenden
Was ist die Definitionsmenge von f(x)=√x? Einblenden



Wertemenge

Die Wertemenge gibt einfach an, was alles rauskommen kann, wenn man jede Zahl aus dem Definitionsbereich in die Funktion eingesetzt hat. Also einfach was alles bei der Funktion rauskommen kann mit gegebener Definitionsmenge.

Alltagsbeispiel:

Es wird der Anzahl von Wassermelonenstücken (x, Definitionsmenge) ein Preis zugeordnet (y, Wertemenge). Dabei kostet ein Wassermelonenstück 2 Euro. Das was dann rauskommen kann ist die Wertemenge, also der Preis:

Wenn ihr zum Beispiel nur 6 Euro dabei habt, dann ist die Wertemenge: W={1;2;3;4;5;6}. Es darf ja nichts anderes rauskommen, da ihr sonst zu wenig Geld hättet das zu bezahlen. Wie ihr seht, bestimmt die Wertemenge was alles rauskommen darf, was das genau ist, kommt dann immer auf die Situation an (z.B. wie viel Geld ihr dabei habt).

Die Funktionsgleichung dieses Beispiels wäre: y=2x

Bei Funktionen:

Bei Funktionen geht es ähnlich, wie beim Beispiel oben, ihr guckt, was alles rauskommen kann, wenn ihr aus dem Definitionsbereich alles einsetzt. Zum Beispiel kann bei der Funktion f(x)=x2 nur was positives rauskommen, das heißt die Wertemenge besteht nur aus positiven Elementen.

  • Wird etwas quadriert oder hoch eine gerade Zahl genommen, können nur positive Werte rauskommen.
  • Wird von etwas die Wurzel gezogen, können nur positive Zahlen rauskommen.
  • Werden Werte nur in den Nenner eines Bruchs eingesetzt, dessen Zähler nicht 0 ist, kann nicht 0 rauskommen.

Beispiele

Überlegt euch, welche Zahlen rauskommen können, wenn ihr die Definitionsmege einsetzt. Hier dürft ihr ja alle Zahlen außer die 0 einsetzen. Also kann auch alles rauskommen, außer die 0, da 1 geteilt durch irgendetwas nie null sein kann!


Hier genauso wie oben, was kann da alles rauskommen? Und es kann ja alles rauskommen, außer die Null, da wenn man durch 2 teilt, kann niemals Null rauskommen.


Hier kann ja alles positive und die Null rauskommen, da wenn man die Wurzel zieht nichts Negatives rauskommen kann.


Bei der Funktion kann auch alles Positive und die Null rauskommen, da wenn man etwas quadriert, kann ja nie was negatives rauskommen.


Übungsaufgaben

Was ist die Wertemenge von f(x)=x2? Einblenden
Was ist die Wertemenge von f(x)=x3? Einblenden

Rechner

Hier könnt ihr euch die Wertemenge und Definitionsmenge berechnen lassen:

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