Integrale (Arten)

Unbestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral gibt die Stammfunktion an. Es hat keine obere und untere Grenze. 

Wenn ein solches Integral da steht, bedeutet es, man soll die Stammfunktion zu der Funktion finden, die zwischen dem Integralzeichen (dieses komische S) und dem dx steht. Diese beiden Teile des Integrals "klammern" die Funktion ein, die man aufleiten soll. Das sieht dann folgendermaßen aus:

Beispiel:

Hier seht ihr, wie ein unbestimmtes Integral funktioniert, man bestimmt die Stammfunktion und ist fertig:

Übungsaufgaben

Hier findet ihr Übungsaufgaben zum unbestimmten Integral:

Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral gibt die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse in einem bestimmten Bereich an (deshalb bestimmtes Integral). Dazu setzt man einen Anfangs- und Endpunkt ein und erhält dann die Fläche unterm Graphen zwischen den beiden Punkten. Wie das aussieht und funktioniert, seht ihr hier:

Dabei ist a der Anfangspunkt (also der kleinere x-Wert) und b der Endpunkt, es steht der kleinere x-Wert unten und der größere oben beim Integral.

 

Schritt für Schritt Vorgehen beim bestimmten Integral:

  1. Stammfunktion berechnen
  2. schreibt die Stammfunktion in eckigen Klammern mit dem Anfangs- und Endpunkten am Ende der Klammer.
  3. Um dann das Integral zu berechnen, setzt man den Endpunkt in die Stammfunktion ein und zieht davon die Stammfunktion mit dem eingesetzten Anfangspunkt davon ab. So habt ihr dann die Fläche unter dem Graphen zwischen dem Anfangspunkt a und Endpunkt b. Das C könnt ihr dabei weglassen, da es durch das - wegfällt.

Beispiel 1

Um die Fläche unter der Funktion f(x)=x zwischen 1 und 3 zu berechnen, verwendet man das bestimmte Integral wie oben beschrieben. Das Ergebnis ist dann die Fläche unter dem Graphen in diesen Grenzen:

  • Habt ihr so ein Integral, müsst ihr erst mal die Stammfunktion bestimmen, diese schreibt ihr dann in eckigen Klammern mit dem Anfangs- und Endwert hinter der Klammer.
  • Jetzt müsst ihr erst den Endwert in die aufgeleitete Funktion für x einsetzen und davon zieht ihr die aufgeleitete Funktion mit eingesetztem Startwert ab. Das ist dann die Fläche unter der Funktion in diesen Grenzen:

Hier seht ihr das Beispiel und die Fläche unter dem Graphen zwischen x=1 und x=3 die mit dem Integral berechnet wurde. Wenn ihr die Kästchen im roten Bereich zählt, erkennt ihr, dass es genau 4 sind, so wie euer Ergebnis von oben es vorhersagt.


Beispiel 2

Hier noch ein Beispiel. Dabei wurde die Fläche unter der Funktion f(x)=-2x2+2 zwischen -1 und 1 berechnet:

Übungsaufgaben

Hier findet ihr Übungsaufgaben zu den bestimmten Integralen:

Integralrechner

Hier könnt ihr euch bestimmte Integrale berechnen lassen:


Unbeschränkte Integrale (bis Unendlich)

Sollt ihr ein Integral bis Unendlich bestimmen, ist das Vorgehen erst mal genauso wie beim Ausrechnen von Integralen, jedoch gibt es am Ende einen entscheidenden Unterschied:

  1. Stammfunktion bestimmen
  2. Grenzen ins Integral einsetzten und ausrechnen
  3. Ihr habt dann irgendwo das Unendlich stehen, ihr müsst einfach dann wie bei den Grenzwerten gucken was passiert, wenn es gegen unendlich geht
  4. ist das Integral im Nenner, wird dieser Term Null und es bleibt nur der andere stehen (es ist ja F(b)-F(a) und dann wird einer von beiden 0). Ist das Unendlich im Zähler geht die Fläche gegen Undenlich (kommt bei Aufgaben aber eher selten vor ist ja langweilig ;).

Beispiel

Hier ein Beispiel für ein unbeschränktes Integral, also erst mal normal berechnen und dann gucken, was mit dem Unendlich passiert:

 

 

Wie ihr seht, geht der Term mit dem Unendlich gegen 0, also könnt ihr den weglassen und ihr habt das Ergebnis.

Hier seht ihr, wie das Beispiel von oben aussieht. Rot ist das Integral, also diese Fläche ist 1, für x gegen Unendlich.


Richtig aufleiten (integrieren)

Die Erklärung, wie man richtig Integriert findet ihr hier:

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