Polynomfunktion

Eine Polynomfunktion, oder auch ganzrationale Funktion, besteht aus einem Polynom, also aus einem Term in welchem mehrere Variablen (z.B. x) mit verschiedenen Exponenten vorkommen und dabei mit einem + voneinander getrennt sind. (Mehr zum Thema Polynome findet ihr HIER.

 

Beispiele:

f(x)=3x2+x+1

f(x)=6x4+x3+x2+x+2

Aussehen von Polynomfunktionen

Zwei Polynomfunktionen im Koordinatensystem gezeichnet.

Gezeichnet sehen Polynome manchmal ganz komisch aus, wie hier. Der grüne Graph zeigt die Polynomfunktion f(x)=x3+3x2+1 das Orangenfarbende die Polynomfunktion f(x)=x5+4x3+2x+4.

Polynome können mehrere Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte haben. 

 


Maximale Anzahl an Nullstellen

Eine Polynomfunktion kann maximal so viele Nullstellen haben, wie der Grad des Polynoms.

Beispiel: Ein Polynom 3. Grades kann also maximal 3 Nullstellen haben.  

Maximale Anzahl an Hoch- und Tiefpunkten

Ein Polynom kann maximal so viele Hoch- und Tiefpunkte haben, wie der Grad des Polynoms minus eins. Beispiel: Ein Polynom 3. Grades kann maximal 2 Hoch- und Tiefpunkte haben.

Grad eines Polynoms erkennen

Der Grad eines Polynoms ist einfach die höchste Potenz des Polynoms, also der höchste Exponent.

3x2+x+1

Beim Polynom ist der Grad 2, da der höchste Exponent 2 ist


6x5+x3+x+4

Beim Polynom wäre es der Grad 5


6x4+x3+x2+x+2

Und hier ist es ein Polynom 4. Grades


Weitere Beispiele:

x5+2x4+5x3+3 Einblenden
4x6+2x3+6x3+3 Einblenden

Glieder und Koeffizienten

Glieder sind die einzelnen Teile des Polynoms die mit dem Plus verbunden sind. 

Koeffizienten sind die Zahlen die direkt vor den Variablen stehen.

3x2+x+1

Die Glieder dieses Polynoms sind 3x2, x und 1. Die Koeffizienten sind 3 und 1.


6x5+x3+x+4

Die Glieder dieses Polynoms sind 6x5, x3, x und 4. Die Koeffizienten sind 6, 1 und 1.


6x4+x3+x2+x+2

Die Glieder dieses Polynoms sind 6x4, x3, x2, und 2. Die Koeffizienten sind 6, 1, 1, 1 und 1.


Nullstellen bestimmen

Ein Polynom kann maximal so viele Nullstellen haben, wie der Grad des Polynoms groß ist. Die Nullstellen eines Polynoms könnt ihr für ...

  • ... ein Polynom von 1. Grad ja bereits berechnen (ist einfach eine lineare Funktion),
  • ... ein Polynom 2. Grades (quadratische Funktion) ist es die Mitternachtsformel, mit der ihr die Nullstellen berechnen könnt.
  • ... höhere Polynome könnt ihr die Polynomdivision verwenden, dazu mehr hier:

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