Polynomfunktion
Eine Polynomfunktion, oder auch ganzrationale Funktion, besteht aus einem Polynom, also aus einem Term in welchem mehrere Variablen (z.B. x) mit verschiedenen Exponenten vorkommen und dabei mit einem +/- voneinander getrennt sind.
Beispiele:
f(x)=3x2+x+1
f(x)=6x4+x3+x2+x+2
Aussehen von Polynomfunktionen
Gezeichnet sehen Polynome manchmal ganz komisch aus, wie hier. Der grüne Graph zeigt die Polynomfunktion f(x)=x3+3x2+1 das Orangenfarbende die Polynomfunktion f(x)=x5+4x3+2x+4.
Polynome können mehrere Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte haben.
Maximale Anzahl an Nullstellen
Eine Polynomfunktion kann maximal so viele Nullstellen haben, wie der Grad des Polynoms.
Beispiel: Ein Polynom 3. Grades kann also maximal 3 Nullstellen haben.
Maximale Anzahl an Hoch- und Tiefpunkten
Ein Polynom kann maximal so viele Hoch- und Tiefpunkte haben, wie der Grad des Polynoms minus eins. Beispiel: Ein Polynom 3. Grades kann maximal 2 Hoch- und Tiefpunkte haben.
Grad eines Polynoms erkennen
Der Grad eines Polynoms ist einfach die höchste Potenz des Polynoms, also der höchste Exponent.
3x2+x+1
Beim Polynom ist der Grad 2, da der höchste Exponent 2 ist
6x5+x3+x+4
Beim Polynom wäre es der Grad 5
6x4+x3+x2+x+2
Und hier ist es ein Polynom 4. Grades
Aufgaben zum Üben:
Glieder und Koeffizienten
Glieder sind die einzelnen Teile des Polynoms die mit dem Plus verbunden sind.
Koeffizienten sind die Zahlen die direkt vor den Variablen stehen.
3x2+x+1
Die Glieder dieses Polynoms sind 3x2, x und 1. Die Koeffizienten sind 3 und 1.
6x5+x3+x+4
Die Glieder dieses Polynoms sind 6x5, x3, x und 4. Die Koeffizienten sind 6, 1 und 1.
6x4+x3+x2+x+2
Die Glieder dieses Polynoms sind 6x4, x3, x2, x und 2. Die Koeffizienten sind 6, 1, 1, 1 und 1.
Nullstellen bestimmen
Ein Polynom kann maximal so viele Nullstellen haben, wie der Grad des Polynoms groß ist. Die Nullstellen eines Polynoms könnt ihr für ...
- ... ein Polynom von 1. Grad ja bereits berechnen (ist einfach eine lineare Funktion),
- ... ein Polynom 2. Grades (quadratische Funktion) ist es die Mitternachtsformel, mit der ihr die Nullstellen berechnen könnt.
- ... höhere Polynome könnt ihr die Polynomdivision verwenden.