Differentialrechnung

 

Definition:

Sei M⊂ℝn und x0∈M, f : M→ℝ. {e1,...,en} sei die Standard-Orthonormalbasis (gibt die Richtung an zb. x-Richtung) des ℝn. Sei i ∈ {1,...,n}. Für jede Nullfolge (hk)k∈ℕ mit der Eigenschaft, dass hk ≠0 für alle k∈ℕ ist, existiere der Grenzwert

 

Dann heißt f in x0 partiell differenzierbar bezüglich der Richtung ei, und

 

heißt partielle Ableitung von f in Richtung ei.

 

Bemerkung:

  • Fall n = 1. Wir benutzen die Schreibweise

 

 

Geometrisch beschreibt f´(x0) die Steigung der Tangente an den Graph von f im Punkte (x0,f(x0)).

 

  • Fall n > 1. Wir fassen die partielle Ableitung in x0 in einem Vektor

 

 

zusammen, der Gradient von f in x0 heißt. Andere Schreibweise:

 

 

Bemerkung:

Stetigkeit impliziert im Allgemeinen nicht Differenzierbarkeit. Als Gegenbeispiel betrachten wir f(x) = |x|. Diese Funktion ist in x0=0 stetig, aber nicht differenzierbar.

 

Satz 1 (Produktregel, Quotientenregel):

 Sei x0∈M, M ⊂ R, f,g : M→ℝ seien in x0 differenzierbar. Dann gilt:

  • f + g : M→ℝ ist in x0 differenzierbar mit (f + g)´(x0) = f´(x0) + g´(x0).

  • Produktregel: f ·g : M→ℝ ist in x0 differenzierbar mit (f ·g)´(x0) = f´(x0)g(x0) + f(x0)g´(x0).

  • Quotientenregel: Falls g(x0)≠0, so ist f /g : {x ∈ M|g(x)≠0}→ℝ in x0 differenzierbar mit:

 

 

Satz 2 (Kettenregel):

Sei x0∈M, M⊂ℝ . f : M → ℝ sei in x0 differenzierbar. g : K → ℝ sei differenzierbar in f(x0), f(M) ⊂ K und f(x0) sei innerer Punkt von K. Dann ist g ◦f in x0 differenzierbar und es gilt

 

(g◦f)´(x0) = g´(f(x0))·f´(x0).

 

Definition:

f : M → ℝ heißt n-mal (stetig) differenzierbar, falls f(n) für n∈ℕ existiert und stetig ist.

 

 

Empfohlenes Video zum Thema

Blog


Abistreich Ideen

Wenn ihr jetzt euer Abi schreibt, bedeutet es, dass die Zeit auf der Schule für euch bald vorbei ist. Jedoch könnt ihr euch noch ordentlich von der Schule verabschieden, nämlich mit dem Abistreich! Dazu findet ihr hier einige Ideen und Infos, auf was ihr achten müsst, damit es ein gelungener Abschluss wird.

mehr lesen 0 Kommentare