Archimedisches Axiom

Das Archimedische Axiom besagt folgendes:

Für alle x > 0 und y > 0 gibt es ein n∈ℕ mit x< ny. Das bedeutet, egal welche Zahlen x und y ich nehme, solange sie positiv sind, kann ich immer ein n finden, sodass ny größer ist als x, egal wie groß x ist. Daraus folgt, dass es für jede Zahl eine Größere gibt..

 

Folgerungen:

  1. Für jedes x∈ℝ  gibt es ein n∈ℝ mit n>x (dh. es gibt immer eine kleinere Zahl)
  2. Für alle ε >0 exestiert ein n∈ℕ mit 1/n < ε
  3. Für alle a>1 und k≥0 gibt es ein n∈ℕ für das gilt: an>k
  4. Umgekehrt, wenn a zwischen 0 und 1 ist, gibt es ein an < ε

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